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1、抽象函数模型化总结高三数学总复习抽象函数 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式,只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的,高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。 常见的抽象函数对应的初等函数模型如下： 初等函数模型 抽象函数性质 正比例函数 一次函数 幂函数 二次函数（0）
2、f（x+y）=（)+（y）+y-c指数函数 对数函数 或f(xm)m(x) 余弦函数 正切函数 下面从这一认识出发,例谈七种类型的抽象函数及其解法。(备注:解小题可参对应的具体函数,解大题得赋值,可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。另并不是所有的抽象函数都能找到中学阶段所学的初等函数，此时,只能通过赋值解决问题。) 一.以正比例函数为模型的抽象函数 正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。 例1、已知函数对任意实数,均有,且当时，,求在区间-2，1上的值域。 分析：由题设可知,函数是的抽象函数，因此求函数的值域
3、,关键在于研究它的单调性。 解：设，当，, , ,即，f（x）为增函数。 在条件中,令-x,则， 再令xy=0,则（0）2 f（), ()=，故f(-)f（x）,f（）为奇函数, (1）=-f(-1)2，又(）=2 f（-1), f（）的值域为-，。 二、以一次函数为模型的抽象函数 一次函数y=ax+是满足函数恒等式(x+y)f(）+f(y)-的最常见的模型。 例2、已知函数f（x)对任意，满足条件(）+f（y） + f(xy）,且当x0时,f(x）2，f（3）=，求不等式的解。 分析:由题设条件可猜测:f(）是y=x+2的抽象函数，且f（x)为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式
4、中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设,当,则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f(3）=,f（）。， 即,解得不等式的解为1 三、以幂函数为模型的抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。由幂函数的运算法则知是我们最熟悉的满足恒等式的函数。 例3、已知函数f(x)对任意实数x、都有（xy）f(x）f(）,且f（1)=1,f(27)9，当时,。 (1)判断f()的奇偶性； (2）判断f（x)在0,)上的单调性,并给出证明； （）若，求a的取值范围。分析：由题设可知f(x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f(x)是偶函数，且在0，+）上是增函数。 解:（1)令y=1,则f（
5、-x）=(x)f(1）， f(-1)=1，(-x）f(x), f(x)为偶函数。 （)设,， 时，f（x1)f（x2)， 故f(x）在0,）上是增函数。 (3)f（27）9，又， ,，, ，,又，故。 四、二次函数型的抽象函数 例.定义在的函数满足，则等于（ ） A.2 B3 C6 D.9 解：法一；设函数为,由得到,又由，知,; 法二:所以 法三： 、以指数函数为模型的抽象函数 由指数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。 例5、已知函数对于一切实数、满足(0)0，,且当 例、已知函数定义域为(0,+)且单调递增，满足(4）=1，(1)证明：(1）=0;（2)求(16）;(3)若+ (-)
6、1,求的范围; （4)试证（)(nN） 分析：由可知f（x)是对数函数 的抽象函数, 解:(1)令=1,4，则(4)=(14）=（1)+(4）(1）=0 （2）(16)=（44)=(4)（4)=2 (3)+（3)=(3）1=(4) 在(,+)上单调递增 (3,4 （) 例7、设f (x)是定义在+上的增函数,且f (）= (y)，若f ()=1,，求的取值范围。 分析:由f (x)=+ f（)可知（x）是对数函数的抽象函数 解:（3）=1 f (3)+ (3)=2 f （)+f (3)= f (） = (x)+ (y) 即f (x）-f(y)= f (x-5) () （x)是定义在R+上的增函
7、数 解得: 七、以三角函数为模型的抽象函数 如满足f(+)+f（x)=（）（y)或f(x）f（y）的函数便是以余弦函数为模型的抽象函数；而满足f（y)的抽象函数,则常以正切函数为模型进行联想。 例、设函数满足,且(）=0,、R;求证：为周期函数，并指出它的一个周期。 分析：由和=2osos知,本题应是以余弦函数为模型的函数 解:令=+，= 则=0 为周期函数且2是它的一个周期。 例9、已知函数满足，若,试求(20X)。 分析:由和（)=可知，本题应是以正切函为模型的函数 解=- (+) 是以4为周期的周期函数 又f(0)=20X =- f(20)=- 综上所述，由抽象函数问题的结构特征,联想已
8、学过的具有相同或相似结构的基本函数,并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象具体抽象”的模型化思考方法,借此可帮助同学们捕捉到有益的解题信息，可使抽象函数问题顺利获解。 练习: 1、函数f（x)为R上的偶函数,对都有成立,若，则=( B ） A 202X B C. D0 提示:先令 2. (x)的定义域为,对任意正实数,y都有(x)=(x)f（y) 且（)=2 ，则 ( ） 3. 。（202） 4对任意整数函数满足：,若，则（c ) A.-1 .1 C. 19 D. 43 5.定义在的函数满足，,则( ) A2 B.3 C6 6设函数f(x)对任意实数,y，都有(x+y
9、)f(x)+f（y)，若x时f（x) （2）解不等式 高三数学总复习函数的周期性与对称性 （同号看周期,异号看对称） 编号 周 期 性 对 称 性 T=2 对称轴是偶函数； 对称中心（a，0)是奇函数 T=对称轴； 对称中心; 3 （x)f(x+)T=2 f(x) -f(-x)对称中心4 T=2 对称中心 5 f（) +f（-+a)= b对称中心 T6 8 T= 结论（1） 函数图象关于两条直线x=a,x=b对称，则函数y=f（x)是周期函数，且T=2|b （2） 函数图象关于点M(a,)和点N(，0)对称，则函数y（x)是周期函数,且T=2|a-b| （3) 函数图象关于直线x=a，及点(b
10、,0）对称,则函数y=(x）是周期函数,且T=4|b| （4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别： y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称； yf(ax）与y=f(b-x)关于点对称 练习题 一、选择题： 1、已知是上的增函数，若令,则是上的( ） 减函数 增函数 C先减后增的函数 D.先增后减的函数 2、已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数 的图象关于直线对称,则的值为 ( ） A.2 1 C.0 不能确定 3、定义在上的函数满足,当时，单调递增,如果,且，则的值为（ ） A.恒大于零 B恒小于零 可能为零 D.可正可负 、已知函数对于任意,有，且,则的值为(
11、) D 二、填空题： 5、若函数满足，且对任意都有 ，则 。 6、定义在上的函数的图象关于点中心对称,对任意的实数都有，且，则的值为 。 7、函数对于任意实数满足条件,若则_。 8、若,则()函数的一个周期为 ；（2)函数的一个周期为 9、若函数则的值为 。 三、解答题： 1、已知函数对任意非零实数都有,且时,。 （1）试判断函数的奇偶性;（2)求函数在上的值域;（3)解不等式。 11、设函数的定义域为，且满足对任意，有，且当时,。(1）求的值;(2）判断的单调性并证明的你的结论;（3）设,若,试确定的取值范围；()试举出一个满足条件的函数。 12. (2)当(1，)时,有f(x)0.求证:(
12、)f(）是奇函数; （）解:(1)易证（x)是奇函数。 ()易证f(）在(,0),(,1）上是单调递减函数 参考答案（仅供参考) 一、选择题： 解：（）特例:满足条件的函数，如； （2)，是将函数的图象关于轴对称,再右移一个单位得到,单调递减，是将函数向左移动一个单位得到,在关于轴对称，单调递减，故选。 2、解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 关于点(，0）对称. 因此，关于(,1）对称 即 故 3、解：有,知中有一个小于,一个大于2,不妨设,又由知以为对称中心，且当时，单调递增，所以,所以,故选。 4、解：,， 二、填空题: 5、解：（1)令 再令， （2)令,略。 、解:由函数的图象关于点中心对称，得， 又由,所以， 为偶函数 , 令,由，得; 令，由,得, 、解:由，得， 8、解：，把x-3看成函数的自变量, 则得函数的一个周期为9; 所以,函数的一个周期为. 9、解: 三、解答题: 10、解：(1）令 再令 令，得 为偶函数 (2） 又 且在上是单调递增函数 解得 故不等式的解集为 11、解:(1）令 （2)任取 令 令 （或） 函数在上单调递减。 （4）如 函 数图 象变 换一 览
