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1、五大几何模型知识框架一、 等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；反之，如果，则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 三、蝴蝶定理任意四边形中
2、的比例关系(“蝴蝶定理”)： 或者蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ； 的对应份数为四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中
3、位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。 共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则 特殊情况：当PQAB时，易知PAB与QAB的高相等，从而SPAB=SQAB 例题精讲一、三角形相似模型【例 1】 图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米? 【巩固】 如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，则四边形的面积_【例 2】 已知三角形的面积为，是
4、的中点，且，交于，求阴影部分的面积 【巩固】 图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？ 【例 3】 如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【巩固】 是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米 二、蝴蝶模型【例 4】 如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形的面积为_ 【巩固】 如图5所示，矩形ABCD的面积是24平方厘米，、三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米，则四边形
5、PMON的面积是 平方厘米。【例 5】 如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点已知正方形的面积48，则的面积是多少？【巩固】 如图所示，是梯形，面积是，的面积是9，的面积是27那么阴影面积是多少？【例 6】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 【巩固】 下图中，四边形都是边长为1的正方形，、分别是，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于 三、共角定理（燕尾定理）【例 7】 如图所示，在四边形中，四边形的面
6、积是，那么平行四边形的面积为_ 【巩固】 正六边形，的面积是平方厘米，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米【例 8】 已知四边形，为正方形，与是两个正方形的边长，求【巩固】 如图，三角形的面积是，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少? 【例 9】 如右图，面积为的中，求阴影部分面积【巩固】 如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？ 【例 10】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积. 【巩固】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别
7、是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形面积.课堂检测【随练1】 如图，在正方形中，、分别在与上，且，连接、，相交于点，过作、得到两个正方形和，设正方形的面积为，正方形的面积为，则_ 【随练2】 如图所示，三角形AEF，三角形BDF,三角形BCD，都是正三角形，其中AE:BD=1:3,三角形AEF的面积是1.求阴影部分的面积。家庭作业【作业1】 如图，正六边形面积为，那么阴影部分面积为多少？【作业2】 如图，已知是中点，是的中点，是的中点三角形由这6部分组成，其中比多6平方厘米那么三角形的面积是多少平方厘米？【作业3】 如下图，在梯形中，与平行，且，点、分别是和的中点，已知阴影四边形的面积是54平方厘米，则梯形的面积是 平方厘米【作业4】 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，、这三块的面积比依次为那么，、这两块的面积比是_【作业5】 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的重点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，mn的值等于_。（A）5 （B）7 （C）8 （D）12
