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1、最新人教版数学精品教学资料 课时提升作业(二十五)几类不同增长的函数模型(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014海口高一检测)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数【解析】选D.对数型函数初期增长迅速,后来增长越来越慢,故选D.2.下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是()A.y=50B.y=1000xC.y=0.42x-1D.y=ex【解析】选D.指数型函数增长速度最快,而y=ex比y=0.
2、42x-1增长更快,故选D.3.根据三个函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x给出以下命题:(1)f(x),g(x),h(x)在其定义域上都是增函数.(2)f(x)的增长速度始终不变.(3)f(x)的增长速度越来越快.(4)g(x)的增长速度越来越快.(5)h(x)的增长速度越来越慢.其中正确的命题个数为()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.依据“直线上升、对数增长、指数爆炸”的原理可知(1)(2)(4)(5)正确.4.某商店同时卖出两套西服,售价均为168元,以成本计算,一套盈利20%,另一套亏损20%,此时商店()A.不亏不盈B.盈利37.2元C.盈利14元D.亏损1
3、4元【解析】选D.设这两套的成本分别是a,b,则a(1+20%)=168,b(1-20%)=168,解得:a=140,b=210,则a+b=350,350-336=14,故亏损14元,选D.【变式训练】某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是()A.减少7.84%B.增加7.84%C.减少9.5%D.不增不减【解析】选A.设商品的原来的价格为整体1,则四年后的价格为1(1+20%)(1+20%)(1-20%)(1-20%)=1.21.20.80.8=0.9216,又1-0.9216=0.0784,故价格减少了7.84%.5.“龟兔赛跑”讲
4、述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图与故事情节相吻合的是()【解析】选B.兔子到达时间比乌龟的要晚且兔子跑得快,结合图象选B.6.某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价20元,羽毛球每只定价5元,该店制定了两种优惠方法:买一副球拍赠送一只羽毛球;按总价的92%付款.某人计划购买4副球拍,30只羽毛球,两种优惠方法中,更省钱的一种是()A.不能确定B.同样省钱C.省钱D.省钱【解析】选D.种方法需204+5(30-4)=21
5、0(元).种方法需(204+530)92%=211.6(元).故种方法省钱.二、填空题(每小题4分,共12分)7.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k=,经过5小时,1个病毒能繁殖为个.【解析】当t=0.5时,y=2,所以2=,所以k=2ln2,所以y=e2tln 2,当t=5时,所以y=e10ln 2=210=1024.答案:2ln210248.老师2012年用7200元买一台笔记本.电子技术的飞速发展,笔记本成本不断降低,每隔一年笔记本的价格降低三分之一.三年后老师这台笔记本还值元.【解析】三年后的
6、价格为7200=元.答案:【误区警示】本题易因对价格降低三分之一理解偏差而计算得三年后这台笔记本还值7200,导致错误.9.(2014佛山高一检测)现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为函数模型.【解析】当x=3时y甲=10,当x=3时y乙=8,而10比8更接近10.2,故选用甲模型较好.答案:甲三、解答题(每小题10分,共20分)10.一个人喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精的含量以每小时50%的速度减少.为了保
7、障交通安全,某地交通规则规定,驾驶员血液中酒精含量不超过0.08mg/mL才能驾驶.问:该人至少过几小时才能驾驶(精确到1小时)?【解析】依题意设x小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1-50%)xmg/mL,若驾驶员能驾驶,则0.3(1-50%)x0.08,即.当x=1时,当x=2时,=.由于y=是减函数,故满足要求的x的最小整数为2.所以喝了少量酒的驾驶员至少过2小时才能驾驶.11.(2014兰州高一检测)用模型f(x)=ax+b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系.统计表明,当每季度投入1(亿元)时利润y1=1(亿元),当每季度投入2(亿元)时利润y2
8、=2(亿元),当每季度投入3(亿元)时利润y3=2(亿元).又定义:当f(x)使f(1)-y12+f(2)-y22+的数值最小时为最佳模型.(1)当b=时,求相应的a使f(x)=ax+b成为最佳模型.(2)根据题(1)得到的最佳模型,请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值.【解析】(1)当b=时,f(1)-y12+f(2)-y22+f(3)-y32=14(a-)2+,所以a=时,f(x)=x+为最佳模型.(2)f(x)=+,则y4=f(4)=.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国
9、,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A.指数函数:y=2tB.对数函数:y=log2tC.幂函数:y=t3D.二次函数:y=2t2【解析】选A.由散点图可知,与指数函数拟合最贴切.2.如图所示是一份统计图,根据此图得到以下说法,其中正确的有()这几年人民的生活水平逐年得到提高;人民生活收入增长最快的一年是2010年;虽然2012年生活收入增长不高,但由于生活价格指数也略有降低,因此人民的生活水平仍有较大改善.A.1项B.2项C.3项D.0项【解析】选C.由图可知“生活收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐渐增大的,故正确;“生活收入指数”图象在20102011年最“陡
10、”,故正确;在2012年“生活价格指数”下降,而“生活收入指数”呈上升趋势,故正确.3.(2014绵阳高一检测)某债券市场发行三种债券,A种面值为100元,一年到期本息和为103元;B种面值为50元,半年到期本息和为51.4元;C种面值为100元,但买入价为97元,一年到期本息和为100元.作为购买者,分析这三种债券的收益,从小到大排列为()A.B,A,CB.A,C,BC.A,B,CD.C,A,B【解析】选B.A种债券的收益是每100元收益3元;B种债券的利率为,所以100元一年到期的本息和为100105.68(元),收益为5.68元;C种债券的利率为,100元一年到期的本息和为100103.
11、09(元),收益为3.09元,故应选B.4.某企业生产总值的月平均增长率为p,则年平均增长率为()A.(1+p)11B.(1+p)12C.(1+p)12-1D.(1+p)11-1【解题指南】年平均增长率等于某年的某月相对于上一年的当月的增长率.【解析】选C.设1月的生产总值为1,则下一年的1月的生产总值为(1+p)12,故年平均增长率为=(1+p)12-1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:明文密文密文明文已知加密为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,接收方通过解密得到
12、明文“3”,若接收方接到密文为“14”,则原发的明文是.【解析】因为x=3时y=6,所以a3-2=6即a=2,所以y=2x-2,令2x-2=14得x=4.答案:46.2013年年底某市人口数达到54.8万,若人口的年平均增长率为x%,设2034年年底人口数为y(万),那么y与x的函数解析式为.【解析】由题意,2014年年底人口数为54.8(1+x%),2015年年底人口数为54.8(1+x%)2,故2034年年底人口数为54.8(1+x%)21.答案:y=54.8(1+x%)21三、解答题(每小题12分,共24分)7.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分
13、别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).【解析】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当xh(x)g(x);当1xg(x)h(x);当exf(x)h(x);当axh(x)f(x);当bxg(x)f(x);当cxf(x)g(x);当xd时,f(x)h(x)g(x).【变式训练】试比较函数y=x200,y=ex,y=lgx的增长差异.【解析】增长最慢的是y=lgx,由图象(图略)可知随着x的增大,它几乎平行于x轴;当x较小时,
14、y=x200要比y=ex增长得快;当x较大(如x1000)时,y=ex要比y=x200增长得快.8.某地区今年1月,2月,3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数,x为月份数,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月,5月,6月份的患病人数分别为66,82,115,你认为谁选择的模型较好?【解题指南】首先利用待定系数法求出甲,乙函数模型中的a,b,c,p,q,r,然后比较4,5,6月的对应值.【解析】依题意,得即解得所以甲:y1=x2-x+52,又-,得pq2-pq1=2-,得pq3-pq2=4,得q=2.将q=2代入式,得p=1.将q=2,p=1代入式,得r=50,所以乙:y2=2x+50.计算当x=4时,y1=64,y2=66;当x=5时,y1=72,y2=82;当x=6时,y1=82,y2=114.可见,乙选择的模型较好.关闭Word文档返回原板块
