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1、第三节 分形 一、分形概念 在前面章节中讨论的物体表示使用了欧氏几何方法,即物体形状由方程来描述。这些方法适用于讨论加工过的物体:具有平滑的表面和规则的形状。但自然景物,如山脉和云,则是不规则或粗糙的,欧氏方法不能真实地表现这些物体。可以使用分形几何方法(Fracta1 geometry)来真实地描述自然景物，使用过程而不是使用方程来对物体进行建模。正如我们所期望的,过程描绘的物体其特征远不同于方程描绘的物体。物体的分形几何表示可以用于很多领域,以描述和解释自然现象的特性。在计算机图形学中,使用分形方法来产生自然景物显示及各种数学和物理系统的可视化。分形物体有两个基本的特征:每点上具有无限的细
2、节以及物体整体和局部特性之间的自相似性。自相似性可以有不同的形式,这取决于分形表示的选择。我们利用一个过程来描述分形物体,该过程为产生物体局部细节指定了重复操作。自然景物,理论上可以用重复无限次的过程得到表示。事实上,自然景物的图形显示仅使用有限步生成。看两个被认为是分形的典型的例子： 例1 三分康托(Cantor)集 设E0是闭区间0,1，即E0是满足0x1的实数x组成的点集；E1是E0去掉中间1/3之后的点集，即E1是两个闭区间0，1/3和1/3，2/3；E2是分别去掉E1中两个区间的中间1/3之后的点集，即E2已经是四个闭区间。此过程要继续进行，Ek是2k个长度为1/3k的闭区间组成的点
3、集。三分康托集F是属于所有的Ek的点组成的集，即 。 F可以看成是集序列Ek当k趋于无穷时的极限。只能画出k取定时的某个Ek。当k充分大时，Ek是对F的很好的近似的表现。 三分康托集中去掉的线段的总长度是多少？可以求出，是1。还剩下多少呢？注意到三分康托集是区间0,1中的可以展成以3为底的幕级数的下面形式的数组成的:a13-1+a23-2+a33-3 其中ai的取值限制为0或2，不取1。为看清这一事实,注意从E0得到E1时,去掉的是ai=1的数，从E1得E2时,去掉的是a2=1的数，并以此类推。 三分康托集具有的一些值得注意的特征,这些特征对许多其它的分形也是大体上适合的。(1) F是自相似的
4、。E1的两个区间0，1/3，1/3，2/3，其内部F的部分与F整体相似。相似比为1/3。(2) F具有“精细结构”，即它包含有任意小比例的细节。 (3) F的实际定义是简单的和明确的。 (4) 传统的几何学很难描述F的性质，因为F不是满足某些简单条件的点的轨迹，也不是任何简单的方程的解的集合。(5) F的局部几何性质也很难描述，在它的每点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点。(6) 按传统几何学中的长度概念,F的长度为零。就是说,尽管从不可数集合这点上说F是一个相当大的集，但它却没有长度，或者说长度不能对F的形状或大小提供有意义的描述。 例2 von Koch曲线设E0是一条线段，E1是E0
5、去掉中间1/3后，代之以底边在被除去线段上的等边三角形的另外两条边，所得四条线段形成的折线。如此继续，Koch曲线是得到的极限曲线。练习1 说明Koch曲线的类似于三分Cantor集的性质。（长度无穷，面积有限等） 称集合F是分形,即认为它具有下面典型的性质: (1) F具有精细的结构，即有任意小比例的细节。 (2) F是如此的不规则以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述。(3) F具有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的。(4) 一般地，F的分形维数大于它的拓扑维数。 (5) 在大多数令人感兴趣的情形下,F以非常简单的方法定义，可能由迭代产生。 二、 相似维数 考虑简单的几何图形
6、，一个边长为1的正方形，若每边扩大2倍，则正方形面积放大4倍。其数学表达式为22=4，这是2维图形。对3维图形，如考虑边长为1的立方体，令每边长放大2倍，则立方体体积扩大8倍，其数学表达式为23=8。 类似地，对一个Df维的几何对象,若每边长扩大L倍,则这个几何对象相应地放大K倍,归纳前述结果，Df,L,K三者间的关系式应为:LDf=K 解出Df,有:Df=lnK/lnL 这里Df不必是整数。这样定义的维数，称相似维数。 假定有一个单位正方形,把它每边三等分得九个小的正方形,九个小正方形面积总和是原单位正方形面积,即9(1/3)2=1。现在我们把Df维的几何对象等分为N个小的几何图形,则每个小
7、图形每维缩小为原来的r倍,而N个小图形的总和应有NrDf=1。 这时解出 ,有: 容易看出式(1)和(2)本质上是相同的，即这样引入的也是相似维数。举一个例子，对 Koch曲线，每条直线段用四个相等线段替代，缩放因子是1/3，所以分形维数D=ln4/ln3=1.2619。每次初始元的线段长度也以4/3因子递增，因此当增加更多的细节后，分形曲线的长度趋于无限。另一些自相似分形曲线构造如图10.71所示。这些例子说明了分形维数越高，其突出状更明显。也可以将多个不相交元素作为生成元。图10.72给出了复合生成元的一些例子。使用复合生成元的随机变量,可以模拟带有复合部分的各种自然物体,如沿海岸分布的岛
8、屿。图10.73是一个使用多个缩放因子的自相似构造的例子。此物体的分形维数由方程(10.102)给出.练习1 举例说明自相似分形的相似维数计算。*练习2 生成并绘制图10.73所示的分形，并计算其维数。作为曲面自相似分形构造的例子,可以用1/2因子缩放图10.74中所示的规则四面体,然后将缩放物体放到四面体的原有四个表面上。四面体的每个面变成6个小平面,且原侧面面积增加3/2倍。此曲面的分形维数是:D =ln6 / ln2 =2.58496这表明了合理的细碎表面。 三、自相似分形生成的递归算法 对具有严格自相似的分形，可有生成和绘制算法框架如下： Fracta1(S,iter) if (ite
9、r=1) 画出S; return; 依据生成规则，由S求出它的n个分解部分Ai, 0 I n； for (i=0; in; i+) Fracta1(Ai, iter-1); 练习1 写出前面讨论过各具有严格自相似的分形的生成和绘制程序。 四、迭代函数系统和混沌游戏算法 在平面内选择三个任意的固定的点，选择平面内任意一点为初始点或称前一点，随机选择三个定点中的一个，令下一点为前一点与选中定点的中点，如此继续可得一无穷点列。在平面内绘制出这一点列后面的点形成的点集，有趣的是，将得到Sierpinski垫的图形。 设D是欧氏空间Rn的闭子集,映射S:D D称为是D上的压缩，如果对所有D上的点x,y,存在一个数c,0ck则算法结束,否则返步2。 练习1 总结出混沌游戏算法的实现框架，并应用于生成Barnsley叶子等。*练习2 举例说明如何判断映射是否为压缩。说明当一个迭代函数系统中的映射都是压缩时，迭代函数系统必有不变吸引子。说明迭代函数系统中概率选择对吸引子生成的影响。说明如何简便地估算迭代函数系统吸引子的范围。
