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1、广东博文学校奥数培训中心 六年级教材第一章 五猴分桃1有5只猴子分一堆桃子，可是怎么也平分不了。于是大家先去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃了一个桃子，剩下的桃子正好分成相等5的份，它把自己的一份收藏起来就睡觉去了。又有一只猴子偷偷起来，也吃了一个桃子，所剩的桃子也刚好分成相等的5份，它把自己的一份收藏起来后也睡觉去了。另外三只猴子先后都照此办理。问这堆桃子开始共有多少个？这个有趣的问题流传很广，有人还把它编成小故事登在报刊上，李政道博士在1979年春专程访问中国科技大学少年班时，曾把这个趣题拿给少年大学生去解。根据题意，设桃子总数为N，夜间每只猴子藏起的桃子数分别是A、B、C、D、
2、E，可列出方程组：N5A14A5B14B5C14C5D14D5E1经逐个代入，可得256N3125E2101要求这个不定方程的非负整数解，过程比较繁。特别是猴子数目比较大时，计算起来更费事。著名数理逻辑学家怀德海有一个异乎寻常的想法，先求出负整数特解后，再求正整数解。设想，当E1时，由方程256N3125E2101得出N4。由于桃子数N被连续5次分成5堆，因此，如果一个数是上述方程的特解，那么此数再加上面55后仍然是方程的解。既然4是特解，于是455也是解，于是，桃子总数是431253121如何理解4是特解呢？怀德海的解释是：假定当初有4个桃子，一只猴子从中硬拿出一个吃掉，还剩下415个桃子，
3、分成5份，每份恰好是1个桃子。私藏起一份之后，还剩4个桃子，仍然回到没有分以前的情况，照这样的分法，不仅可分5次，能一直分下去。因此4是个神奇的特解。这正是怀德海想法的异乎寻常之处。这个问题可以用还原法解答，依题意列方程，【（N1）1 11】1E其中N是桃子总数，E是第五次分得的每份数，逐次还原可得N（5E1）1 111()4()3()21由于4与5互质，只有当取得最小正整数1时，才能得的最小正整数解，所以E441255N554312543121在这个方法中，用到了公式 an1（an1an2a1）（a1）由此得()4()3()21更一般地，anbn（an1an2ban3b2abn2bn1）（a
4、b）下面是这个问题另一种简单解法。设桃子总数为x，n只猴子自藏起来的桃子数依次为k1，k2，kn，得方程组nk1x1nk2（n1）k11nkn（n1）kn11从第二个方程开始，每个方程的等号两边都加上n，得n（k21）（n1）（k11）n（k31）（n1）（k21） n（kn1）（n1）（kn11）再把这些等式两边乘起来，得 nn1（kn1）（n1）n1（k11）因为对于任何自然数n，n1的每个质因数都不是n的因数，所以k11必是nn1的倍数。记作k11knn1将此式代入 nk1x1得 xn（nn1k1）1 nnk（n1）取k1，得最小正整数解为xnnn1令n5，得本题中桃子总数为555131
5、21在这种解法中，我们推导出了一个一般公式xnnn1对于任意的n（n2）只猴子的情况，只需将n代入公式，就可得桃子的总数。第二章 四色问题1（国标P108）画在纸上的任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。图1用数学语言表示，即“将平面任意分成不相重叠的区域，每一区域总可用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的，如果两个区域只相遇于一点或有限多个点，就不叫相邻的，因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆，如图1。1852年，英国伦敦大学学生格思里（Guthrie）面对地图发现：不论多么复杂的地
6、图，只须四种颜色便可将任何相邻区域区分开。他把这一想法告诉他的哥哥。他们又就这个问题请教德摩根（De Morgan，18061871），试图得到这一问题的证明。摩根没能证出来，便将此事告诉了哈密尔顿（Hamilton，18051865），但他们始终没有得到结果。1878年英国数学家凯莱（Cayley，18211895）在伦敦数学会会刊上发表一篇文章，将上述问题归结为“四色猜想”。凯莱的文章引起了很大的反响。人们被这样一个简简单单却又解决起来困难重重的问题所吸引，一大批很有才华的人士踏上了探索奥秘的路途。大约在凯莱公开“四色猜想”后一年左右的时候，伦敦数学学会会员肯普（Kempe，1849192
7、2）给出了该猜想的第一个证明。肯普的论据是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇一点，这种地图就是“正规的”。一张地图往往是非正规的，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需颜色的种数，要证明四色猜想成立，只要证明不存在正规五色地图就够了。肯普采用了归谬法。大意是如果有一张正规的五色地图，就存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国少于6个，就存在一张国数更少的正规地图仍为五色。这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图。从而得到“四色猜想”的认定。然而在肯普给出证明后的第11年，在牛津大学就读的年仅20
8、岁的希伍德（Heawood，18611955）发现了肯普证明中的错误，然后把证明作了修改。按照肯普提供的方法成功地证明了“五色定理”。对四色猜想给出一般性的结论确实困难，但对若干种特殊情形证明是可以实现的。人们很快就弄清楚了，当区域不超过12时，四色猜想是对的。图21939年，富兰克林（Franklin，18981965）把四色地图的区域提高到25。一直到1968年，奥尔（Ore，18991968）达到了39。尽管长时间没有解决四色猜想，但是从直觉上许多研究者都认为它是对的。有人还设计了一种风行一时的“染色游戏”。游戏由两个以上的人参加。第一个人任画一个闭合区域，由第二个人着色，然后再画一个闭
9、合区域，由第三个人着色，之后又画一个闭合区域，如此循环进行。游戏规定，相邻区域必须是不同颜色，不论谁，若着色完毕并画出闭合区域后，迫使后继者不得不染上第五种颜色时，便判谁为输。按此规定，参加游戏的每个人在染色及画闭合区域时都要为后继者着想。不能迫使他用第五种颜色。如图2，第四个人画的闭合区域是“5”，那么在给区域“4”染色时别无选择，只可用黄色，否则第五个人非得用第五种颜色染区域“5”不可。这样第四个人就是输者。游戏很有意思，当图画得区域越来越多，越来越复杂时，差色就要很小心了，着色后画的闭合区域如果仅与一个原有区域相邻，那么着色就容易了，而如果着色后画的闭合区域是随意的，那么着色就要受更多的
10、限制。不过，自倡导染色游戏以来，没有谁真正输过一次，这在客观上生动地表明，四色猜想很可以是对的。但游戏毕竟是游戏，它无法证明猜想。电子计算机的发明，发数学的研究提供了新的工具，使许多人工几乎算不完的事情用电子计算机可以实现了。1960年，美国伊利诺大学的哈肯（Haken）开始研究用电子计算机去解决“四色猜想”。1972年哈肯与阿佩尔（Appel）合作，到1974年问题有了进展。1976年初，他们终于完成了论证四色问题的计算程序。1976年6月，哈肯和阿佩尔同时启动三台IBM360型高速电子计算机，花了1200个机时，进行了大约60亿个逻辑判断，终于证明了四色问题的正确性，从而称之为四色定理。在
11、四色问题的研究过程中，新的数学理论也随之产生，还发展了数学计算技巧，丰富了图论的内容。四色问题还在有效地设计航空班机日程表、设计计算机编码程序上都发挥了作用，推动了数学的发展和应用。国标1081976年9月，美国数学家阿沛尔和哈肯宣布：他们在电子计算机的协助下，把古典的世界教学难题“四色猜想”证明出来了。这个消息震动了整个数学界。因为，自古以来数学家都认为数学的推理是最优美的，不少数学家都陶醉于“一枝笔，一张纸，几本参考书”这种研究思维方法。而今电子计算机突然破天荒地解决了长期以来数学家所无法解决的这个问题，这不能不使得一些数学家哀叹：“数学上优美的时代应该宣布让位了”！那么到底什么是“四色猜
12、想”呢？1852年，英国数学家狄摩根的学生格思里在绘制地图时发现，“无论多么复杂的地图，只需要四种颜色就能够将它区分开来”。也就是说，用四种颜色就能使得没有两个相邻地区的颜色相同。关于四色猜想，有一个很有趣的小故事。19世纪末期，著名数学家闵可夫斯基在一堂课上给学生介绍四色猜想，自负地说：“这个猜想至今没有人能够证明，因为对这个问题进行专门研究的只有一些三流数学家。我相信我能够证明它。”于是他拿起粉笔当场开始证明。下课了。闵可夫斯基没能当堂解决这个问题，于是下一节课又去解答。一连好几天，他都未能解决这个问题，弄得进退两难，十分尴尬。有一天在课堂上，当闵可夫斯基再次拿起粉笔要继续他的证明时，天空
13、突然电闪雷鸣，这时他严肃地对学生们说：“老天被我的骄傲激怒了，我对四色猜想的证明也是不完全的。”于是这种天真的做法才戏剧性的结束了。闵可夫斯基确实够狂妄自大了。别看谁都能弄懂四色猜想的意思，可要解决它，并不比攀登珠穆朗玛峰容易多少。第三章 欧拉遗产问题1是大数学家欧拉的数学名著代数基础中的一个问题。问题：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一；按这种方法一直分下去，最后发现这种分法好极了，因为所有儿子分得
14、的财产数字恰好相等。问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？欧拉（Leonard Euler，17071783）是著名的数学家、物理学家、天文学家。生于瑞士的巴塞尔。他的父亲对数学颇有研究，是欧拉的第一个数学教师。欧拉从19岁起开始写作，直到76岁。半个多世纪，他写下浩如烟海的书籍和论文。至今几乎每一个数学分支都可以看到欧拉的名字。从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法，到数论中的欧拉函数，微分方程中的欧拉方程，级数论中的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数论的欧拉公式等等。特别是在他双眼失明到逝世的确良7年间，他仍发表了几百篇论文以及有关纯数学和应用数学各方面问题的巨著10部。欧拉不仅对高深的数学、物理学和天文学造诣极高，而且对代数应用题也很重视，他认为这些古老的问题在数学发展史中起着重大作用，他并不认为解这类初等数学问题是有损尊严的事。因此他在他的名著代数基础中就搜集了很多生活上的趣题，其中也包括遗产问题。下面我们来求解这个问题：设：这位父亲共有财产x克朗，每个儿子分得的财产为y克朗，这位父亲有儿子的个数为n。根据所设的条件可知：xny，并依据下图进行分析如下：（下图中假设某一线段长为y克朗）第一个儿子分得财产为 （1）第二个儿子分得财产为 （2）第三个儿子分得财产为
