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1、2012年全国各地中考数学真题分类汇编第24章 直角三角形与勾股定理一.选择题1（2012广州）在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）ABCD考点：勾股定理；点到直线的距离；三角形的面积。专题：计算题。分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在RtABC中，AC=9，
2、BC=12，根据勾股定理得：AB=15，过C作CDAB，交AB于点D，又SABC=ACBC=ABCD，CD=，则点C到AB的距离是故选A点评：此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键2.（2012毕节）如图.在RtABC中，A=30，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（ ） A.2B.2 C.4 D. 4 解析：求出ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可解答：解：A=30，B=90，ACB=180-30-90=60，DE垂直
3、平分斜边AC，AD=CD，A=ACD=30，DCB=60-30=30，BD=1，CD=2=AD，AB=1+2=3，在BCD中，由勾股定理得：CB=，在ABC中，由勾股定理得：AC=，故选A点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中3.（2012湖州）如图，在RtABC中，ACB=900，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ）A.20 B.10 C.5 D. 【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CD=AB=10=5.【答案】选：C【点评】此
4、题考查的是直角三角形的性质，属于基础题。4.（2012安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）A.10 B. C. 10或 D.10或解析：考虑两种情况要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.解答：解：如下图， 故选C点评：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选A或B；故解决本题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解5. （2012荆门）下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶
5、点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A B C D 解析：根据勾股定理，AB=2，BC=，AC=，所以ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：3=：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：4，故本选项错误故选BABCD6. ( 2012巴中)如图3，已知AD是ABC的BC边上的高，下列能使ABDACD的条件是( )A.AB=AC B.BAC=900C.BD=
6、AC D.B=450【解析】由条件A,与直角三角形全等的判定“斜边、直角边” 可判定ABDACD，其它条件均不能使ABDACD，故选A【答案】A【点评】本题考查直角三角形全等的判定“斜边、直角边”应用.二.填空题7.( 2012巴中)已知a、b、c是ABC的三边长,且满足关系+|a-b|=0,则ABC的形状为_【解析】由关系+|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2= c2，且a-b=0即a=b,ABCJ是等腰直角三角形. 应填等腰直角三角形.【答案】等腰直角三角形【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.”及勾股定理逆定理的应用.8（201
7、2泸州）如图，在ABC中，C=90，A=30，若AB=6cm，则BC= .解析：在直角三角形中，根据30所对的直角边等于斜边的一半，所以BC=AB=6=3（cm）.答案：3cm.点评：30所对的直角边等于斜边的一半，是直角三角形性质，要注意前提条件是直角三角形.9.（2012青岛）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.【解析】将圆柱展开，AB=【答案】15 【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据“两点之间线段最
8、短”得出结果“化曲面为平面”，利用勾股定理解决要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.10（2012河北）如图7，相交于点，于点，若，则等于 对顶角相等，直角三角形两锐角互余 观察图形得知与是对顶角，又在中，两锐角互余，11.（2012南州）如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）A、（2，0） B、（） C、（） D、（）解析：在中，所以，所以，故.答案：C.点评：本题考查矩形、勾股定理、圆弧及数轴知识，是一道综合性的题目，比较简单，难度较小.12（2012临沂）在RtABC中，ACB
9、=90，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EFAC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm考点：直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质。解答：解：ACB=90，ECF+BCD=90，CDAB，BCD+B=90，ECF=B，在ABC和FEC中，ABCFEC（ASA），AC=EF，AE=ACCE，BC=2cm，EF=5cm，AE=52=3cm故答案为：313.（2012陕西）如图，从点发出的一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过路径的长为 【解析】设这一束光与轴交与点，作点关于轴的对称点，过作轴于点由反射的性质，知这三点在同一条直线上再由轴对称的
10、性质知则由题意得，由勾股定理，得所以【答案】【点评】本题从物理学角度综合考查了平面直角坐标系中点的坐标应用、轴对称性质以及勾股定理等.难度中等CD14（2012资阳）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是10或8考点：三角形的外接圆与外心；勾股定理。专题：探究型。分析：直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：16为斜边长；16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径解答：解：由勾股定理可知：当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长=
11、20，因此这个三角形的外接圆半径为10综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10故答案为：10或8点评：本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆15（2012无锡） 如图，ABC中，ACB=90，AB=8cm，D是AB的中点现将BCD沿BA方向平移1cm，得到EFG，FG交AC于H，则GH的长等于3cm考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；平移的性质。分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD=BD=CD=AB=4cm；然后由平移的性质推知GHCD；最后根据平行线截线段成比例列出比例式，即可求得GH
12、的长度解答：解：ABC中，ACB=90，AB=8cm，D是AB的中点，AD=BD=CD=AB=4cm；又EFG由BCD沿BA方向平移1cm得到的，GHCD，GD=1cm，=，即=，解得，GH=3cm；故答案是：3点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得相关线段的长度是解答此题的关键16.(2012黔西南州)如图6，在ABC中，ACB=90，D是BC的中点，DEBC，CEAD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为_【解析】由于ACB=90，DEBC，所以ACDE又CEAD，所以四边形ACED是平行四边形，所以DE=AC=2在Rt
13、CDE中，由勾股定理CD=2又因为D是BC的中点，所以 BC=2CD=4在RtABC中，由勾股定理AB=2因为D是BC的中点，DEBC，所以EB=EC=4，所以四边形ACEB的周长=AC+CE+BE+BA=10+2【答案】102【点评】本题是一个几何的综合计算题，尽管难度不大，但综合考查了平行四边形、垂直平分线的性质和判定，理清思路，找准图形中的相等线段，并不难解决三.解答题17（2012菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC和DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形ABC为直角三角形；（2）判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）考点：作图相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定。解答：解：（1）根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；显然有AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理得ABC 为直角三角形；（2）ABC和DEF相似根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2=，ABCDEF（3）如图：连
