《数列求和7种方法(方法全例子多)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列求和7种方法(方法全例子多)（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)一、总论：数列求和 7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和
2、公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.cn(a + a )n(n -1),1、等差数列求和公式：S =1 n = na +dn 2 1 22、等比数列求和公式：S =nna(q = 1)a (1 - q n )a - a q=n (q 丰 1)1 - q1 - q3、S 二工 k = n(n +1)n2k=1n14、S =Y k2 = n(n + 1)(2n +1) n6k=15、S =工 k 3 = 1n(n +1)2 n2k=1例 1已知l0g3 X =求 X + X2 + X3 HF Xn H的前 n 项和.n -1 n解：由 log X n log3 log
3、 32由等比数列求和公式得S = X + X2 + x3 HF xnn（利用常用公式）X (1 - Xn)2(1-2)1-1-S例2设 S =1+2+3+.+n, nN*，求 f (n) 一 n(n+32)Sn+1的最大值.解：由等差数列求和公式得S 1 n（n +1）,n 2S = -(n + 1)(n + 2) n 2（利用常用公式）、 S f (n) n_(n + 32) Sn 2 + 34n + 64n+11=64 =-n + 34 +(、小-n18)2 + 50x：n1 -一 50.当桁-，即n=8时,f (n)max - 50题1等比数列SJ的前n项和Sn=2-11,则3题2 .若
4、 l2+22+.+(n-1)2二an3+bp+cn，则 a二,b=,c=母一 1）旳 （2用一 1） _ 2用一 了殿+ 殿111解：原式=答案：耳厂亍京二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3求和：S 1 + 3x + 5x2 + 7x3 + （2n -1）Xn-1n解：由题可知，（2n -1）xn-1的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 xn-1的通项之积设 xS 1x + 3x2 + 5x3 + 7x4 + （2n -1）xn（设制错位）n(错位相减得 (1
5、x)S 1 + 2x + 2x2 + 2x3 + 2x4 + + 2xn-1 (2n 1)xnn1 x n-1再利用等比数列的求和公式得：(1 x)S 1 + 2x- (2n 1)xnn1 x(2n -1) xn+1 - (2n +1) xn + (1 + x) S (1 - X)2i2 46例4求数列，-，乙 乙2 乙32n?，前n项的和.2 n解:练习题1一 1由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列亍的通项之积2 n2 n2462n设 S + +n2 22232n 1 2462n-S + + + +2 n 22 23 242 n+1222222n) S +n 2 2223242 n
6、2 n+112n2 2 n-12 n+1S - 4 出n已知，求数列 an的前n项和Sn.=护2卜2 吵一2门=护郭F +1一得(1 -2 n-1练习题22?3 12H的前n项和为(设制错位)(错位相减n答案严仔三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原 数列相加，就可以得到n个(a + a ).1 n例5求证：C0 + 3C1 + 5C2 + + (2n +1)6 (n +1)2nnnnn证明： 设 S C0 + 3C1 + 5C2 + + (2n + 1)Cnnnnnn把式右边倒转过来得S (2n + 1)Cn + (2n 1
7、)Cn-1 + + 3C1 + C 0(反序)nnnnn又由Cm = Cn-m可得nnS = (2n + 1)Co + (2n 1)C 1 H3Cn-1 + C nnnnnn+得2 S (2n + 2)(C0+ C1+ + Cn-1+ Cn) 2(n +1) 2nnnnnn S (n +1) 2 nn例6 求 sin21。+ sin2 2。+ sin2 H sin2 88。+ sin2 89。的值解：设 S sin21 + sin2 2。+ sin2 3 + sin2 88。+ sin2 89。 将式右边反序得S sin2 89 + sin2 88 + sin2 3 + sin2 2 + si
8、n21又因为 sin x cos(90 x), sin2 x + cos2 x 1+得2S (sin21 + cos21) + (sin2 2 + cos2 2) + (sin2 89 + cos2 89) =89（反序相加）（反序）（反序相加）S=44.5已知函数儿卜（1 ）证明：了 E 十了（1-小二 1 ;（2）求占卜占）唯H舒的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2 ）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知，令/丄1+昇3 +- + /丄+孑U0io；U0J两式相加得:-1+/jS = 所以 练习、求值：2310332+82四、分组法求和有一类数列，既不是等差
9、数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7求数列的前n项和：1 +1, + 4,+ 7,，+ 3n 2，a a 2an-1解：设 S = （1 +1） + （丄 + 4） + （丄 + 7） + + （丄 + 3n 2）naa 2an-1将其每一项拆开再重新组合得S = (1 + - + 丄 + +丄)+ (1 + 4 + 7 + + 3n 2) naa 2an-1当a=1时,c (3n 1)n(3n + 1)nS = n +=n 2（分组）（分组求和）当a丰1时,an(3n 1)na a1n(3n 1) na 12例8求数
10、列n（n+1）（2n+1）的前n项和.解：设 a = k (k + 1)(2k +1) = 2k 3 + 3k 2 + kk S =k(k + 1)(2k +1) = E (2k3 + 3k2 + k)nk =1k =1将其每一项拆开再重新组合得（分组）（分组求和）S = 2 工 k 3 + 3 工 k 2 + 工 k n=2(13 + 23 + + n 3) + 3(12 + 22 + + n 2) + (1 + 2 + + n)k =1k=1k=1n 2(n +1)2n(n + 1)(2n +1)n(n +1)= + +n(n +1)2 (n + 2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数
11、列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如：1)二 f (n +1) - f (n)2)sinl。cos n。cos(n +1)。=tan(n +1)。- tan n。3)n(n +1)4)(2n)2(2n - 1)(2n +1)5)n(n - 1)(n + 2) = T n(n +1)(n + 1)(n + 2)(6)n(n +1) 2n2(n +1) - nn(n +1)2nn - 2 n-1(n +1)2 n(n +1)2 n7)8)n + Jn +1(An + B)(An + C) C B A
12、n + B An + C例 9求数列.11=，的前n项和.1 +、.：2 2 +、.：3n +、：n +1解：设a = yn +1 - Jn(裂项)n Jn + Jn +1则S =+.+(裂项求和)n 1 + x 22 + 乜 3 vn + y、n +1=(迈-d) + (、月-迈)+ + G- n + 1 -爲)=、n +1 -1求数列bn的前n项的和.12 n2例10 在数列a 中，a = + + + -，又b =n n +1 n +1 n +1 n a an n +1解：12nn/ a+ +nn+1n+1n+12211/. b8()nnn +1nn +122数列bn的前n项和裂项)Sn=8(1-2)+(2 一 3)+(3 一 4)+-+n n +1)裂项求和)=8（1 -岛）8nn +1例 11求证：+= cos1cos0。cos1 cos1 cos2cos88。cos89。 sin2 1。解：设 S =+HH 一sinl。（裂项）cos0。cos 1。 cos 1。cos2。cos88。cos89。（裂项求和）=tan(n +1)。- tan n。 cos n。cos(n +1)。S =+HH cos 0。cos 1。cos 1。
