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1、初中数学讲义 反比例函数初步反比例函数 定义：形如y= (k为常数，k0)的函数，叫做反比例函数，其中k叫比例系数 图象：反比例函数图象是两支不经过原点曲直线函数y= (k0)也叫曲线y=. y=kx 示意图（草图） 图象位置 变化趋势 性质（增减性） k0 经过第一、三象限x0时y随x的增大而减小x0时y随x的增大而减小 k0时y随x的增大而增大x0时, y随x的增大而增大, 求m的值。解：因为是反比例函数，所以m2-2= -1, 从而 m=1.当m=1时, 函数解析式为 ，这时，当x0时, y随x的增大而减少，与已知条件矛盾；当m= -1时, 函数解析式为 ，这时，当x0时, y随x的增大
2、而增大，符合已知条件。所以，m= -1例2 己知(1)如果y是x正比例函数, 求 m的值；(2)如果y是x反比例函数, 求m的值. 解： （1）由正比例函数的定义，得 即 解得（2）由反比例函数的定义，。得 即 解得例3 己知一次函数y=xm与反比例函数(m1)的图象在第一象限内的交点为P(x0, 3). (1)求x0的值；(2)求一次函数和反比例函数的解析式. 解: (1)由已知条件，得解得 （2）一次函数的解析式为 y=x+2, 反比例函数的解析式为 例4 如图, 点P是x半轴上的一个动点, 过点P作x轴的垂线交双曲线于点Q, 连结OQ, 当点P沿x轴的正方向运动时, RtQOP的面积大小
3、是否发生变化？如果不变，请求出RtQOP的面积；如果改变，请说明理由。解：设Q点的坐标为(x,y), 则，xy=1. OP=x,PQ=y, RtQOP的面积 = OPPQ = xy=当点P沿x轴的正方向运动时, RtQOP的面积大小不发生变化, 面积恒为。例5 己知点A(3, a),B(, b), C(3, c)都在反比例函数的图象上, 试确定a, b, c的大小关系。解 ，所以ba0, 反比例函数的比例常数k0, 排除（B）；在（C）中，一次函数的比例常数k0, 故应（C）；在（D）中，一次函数的比例常数k0, 故应（C）；所以图象只可能是（A）。例9 如图所示, 己知一次函数y=kxb(k
4、0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点, 且与反比例函数(m0)的图象在第一象限交于C点, CD垂直于x轴, 垂足为D, 若OA=OB=OD=1. (1)求点A、B、D的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式. 解 （1）OA=OB=OD=1，点A、B、D的坐本标分别为A（-1，0）、B（0，1）、D（1，0）。（2）A、B在一次函数y=kx+b(k0)的图象上，解得。一次函数的解析式为y=x+1.点C在一次函数y=x+1的图象上，且CDx，轴。点C的坐标为（1，2）。又点C在反比例函数的图象上，m=2，反比例函数的解析式为。例10 如图所示, 己知反比例函数(k0)的图象经过点A(,
5、m)过点A作ABx 轴于点B, 且AOB的面积为. (1)求k和m的值；(2)若一次函数y=ax1和图象经过点A, 并且与x轴相交于点C, 求AO：AC的值. 解 （1）k0, OB=|=, AB=m.SAOB=OBAB=m=,m=2. 点A的坐标为A（-，2）。把A（-，2）的坐标代入中，得，。令y=0，得=0，x=.点C的坐标为C（，0）。ABx轴于点B，ABC为直角三角形。AC2=AB2+BC2=22+（2）2， AC=4 在RtABO中，由勾股定理，得AO =。AO：AC = 竞赛题选讲1.（2007“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）如图，点A,C都在函数0)的图像上，点B，D都在x
6、轴上，且使得OAB，BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 2. (2006全国初中数学竞赛海南赛区初赛）正比例函数y = -x与反比例函数 的图像相交于A、C两点,ABx轴于B，CDx轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为_3如图，已知RtABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数的图像在第一象限内的交点，且则该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如果能确定，请写出它们的解析式；如果不能确定，请说明理由课外练习题一、选择题1函数与在同一坐标系中的图像可能是 ( )2如图所示，点A是图像上的一点，轴于点B，则AOB的面积是 ( )A1 B2 C3 D43一张正方形的纸片，剪去两个一
7、样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2x10，则y与x的函数图像是 ( )三、解答题4已知反比例函数的图像与一次函数y=3x+m的图像相交于点(1，5)(1)求这两个函数的解析式；(2)求这两个函数图像的另一个交点的坐标5如图所示，已知反比例函数的图像与一次函数y =k2x+b的图像交于A、B两点，(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由6如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验；在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况实验数据记录下表1-2：表12 x/cm 10 15 20 25 30 y/N 30 20 15 12 10(1)把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图像，猜测y(N)与x(cm)之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)当弹簧秤的示数为24 N时，弹簧秤与O点的距离是多少厘米？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？
