常微分论文

《常微分论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分论文（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、经济增长微分方程模型1摘要：经济增长模型指的是经济增长的理论结构，它所要说明的是经济增长与有关 经济变量之间的因果关系和数量关系。对经济增长的不同理论分析构成了不同的 经济增长模型。在经济增长理论中,人们推崇的主要有三大理论:哈罗德多马 经济增长理论、新古典经济增长理论和新剑桥经济增长理论。这里，我们主要介 绍两个著名的经济增长模型，即哈罗德多马经济增长模型和新古典经济增长模 型。因为以匈裔英籍经济学家尼克拉斯卡尔多为代表的新剑桥学派的经济增长 理论,尤其与 1987 年获得诺贝尔经济学奖的索洛的新古典经济增长理论不合辙。 他们不仅不接受新古典生产函数理论,而且还认为新古典理论以消费支配经济社

2、 会的观点不切实际。2. 问题分析与模型假设 发展经济、提高生产力主要依靠以下方法： 增加投资； 增加劳动力； 技术革新。 本经济增长模型，将讨论：1. 生产函数（建立产值与资金、劳动力直接的关系）2. 资金与劳动力的最佳分配（求解二者最佳比例）3. 劳动生产率增长条件。3. 模型的建立和求解模型一、哈罗德多马经济增长模型1哈罗德多马经济增长模型的假定 英国经济学家哈罗德与美国学者多马几乎同时提出自己的经济增长模型。由 于两者在形式上极为相似，所以称为哈罗德多马模型。两者的区别在于哈罗德 是以凯恩斯的储蓄投资分析方法为基础，提出资本主义经济实现长期稳定增长 模型；而多马模型则以凯恩斯的有效需求

3、原理为基础，得出与哈罗德相同的结论。 哈罗德多马模型考察的是一国在长期内实现经济稳定的均衡增长所需具备的 条件。这里所讨论的基本形式的哈罗德多马模型的假定条件包括：1）不存在货币部门，且价格水平不变；二n =常数dN /dt（2）劳动力按不变的、由外部因素决定的速度n增长，即 N（3）社会的储蓄率，即储蓄与收入的比率不变，若记S为储蓄，s为储蓄 =s =常数（Y为收入）率，则 Y；（4）社会生产过程只使用劳动N和资本K两种生产要素，且两种要素不能 互相替代；（ 5）不存在技术进步。根据假定（4），生产函数可以写为：Y 二 Y(N, K)二 min(VK, ZN)(20.10)YYV = Z =

4、式中，参数K为产出一资本比；N为产出劳动比；V和Z为固定的常数。2产出和资本V 二根据上面的说明，由K有-VK(20.11)对(20.11)式关于时间t求微分有：dY dK =V dt dt (20.12) (20.11)式说明，经济中供给的总产出等于产出资本比乘以资本投入。(20.12)式则说明，总产出随时间的变化率由产出资本比和资本存量变化 率 (即投资水平)所决定。另一方面，在只包括居民户和厂商的两部门经济中，经济活动达到均衡状态 时，要求投资等于储蓄，即：1 二 S(20.13)dKI 根据假定条件，有S sY。而 dt，故(20.13)式变为：dK sY dt(20.14)将(20.

5、14)式代入到(20.12)式，并对其进行变形，有：dY / dt VsY (20.15) 方程(20.15)就是在资本得到充分利用条件下总产出的增长率所必须满足的关系。在V S都为常数的条件下，模型(2015)式的解为：Y AeVst(20.16)式中，A为常数；t为时间；e为数学中自然对数的底数(e2.718)。为了进一步认识(20.115)所示的增长率的意义，将(20.11)代入到(20 14)式，并对其进行整理，得：dK / dt VsK (20.17) 比较(20.15)式和(20.17)式可知，为了使资本得到充分利用，总产出 Y 与 资本 K 必须同步增长，其增长率由储蓄率和产出资

6、本比确定。按照哈罗德的 说法，这一增长率被称为有保证的增长率，记为GW，即GW Vs。至此，已建 立了资本得到充分利用时经济增长的条件。3产出与劳动dN / dt根据假定条件，劳动力增长率为 N常数。另一方面，根据生产函20.19)数(20.8)式，在充分就业情况下，总产出和劳动力的关系为：Y = zN (20.18) 在参数 z 为常数的情况下，(20.18)式意味着总产出必须与劳动力同步增长 事实上，对(20.18)式关于时间t进行微分，有：dY dN z dt dt用(20.18)式除(20.19)式，得： dY / dt dN / dt=nY N( 20.20)(20.20)式就是劳动

7、力充分就业时经济增长的条件。这一条件的含义是， 如果要使经济实现充分就业的均衡增长，总产出的增长率必须等于劳动力的增长 率。哈罗德将这一增长率称为自然增长率，记为4经济均衡增长的条件 为了得到哈罗德多马模型均衡增长的条件产量，如图 201 所示。KGN，即 Gn =n先考察生产函数(20.8)的等L 哈罗德Y1Y3Y2E2e3KbElK1图20-1哈罗德一多马条件从图20-1中可以看到，为了生产Y的产出水平，该经济需要N单位的劳 动力和K1单位的资本，均衡点为E。如果该经济有Na单位的劳动力和K1单位 的资O那么该经济的产出水平也只能是Y1。在这种情况下，一些劳动力会因 缺乏生产性资本不能从而

8、处于失业状态。同样，果该经济只有ni单n的劳动力，而拥有Kb单位1资本。其最大产出水平彳Y1。在这种情况下， 大量生产性资本又会因劳动力不足而被闲置。显然，要使经济中所有的生产投入(在这里即劳动和资本)都被充分利用的条件是图20-1中通过原点的直线1上 的E1，E2和E3等点。根据本节前面的讨论，为了使经济中资本和劳动力都得到充分利用，总产出G 二 GWN的增长率必须满足的条件是，有保证的增长率GW等于自然增长率Gn，即:20.21)由于GW二Vs，Gn，故上式又可写为：Vs 二 n(20.22)(2022)式被称为哈罗德多马均衡增长条件。如果这一条件不能满足，如 Gn Gw，则失业率就会上升

9、；反之，如果Gw Gn，则会出现大量资本闲置。在哈罗德多马模型的框架下，(20.22)式给出了保证经济均衡增长、产出 资本比V、储蓄率s和劳动力增长率之间的内在联系。哈罗德认为，由于储蓄率、 产出资本比率和劳动力增长率这三个因素分别由不同的因素决定，因此，在现 实中没有任何经济机制可以确保GW等于Gn。更何况，即使由于偶然原因， GW二Gn，使经济处于均衡增长路径上，但一旦出现某种扰动，有保证的增长率 就会越来越偏离自然增长率。换言之，即使存在均衡增长路径，但该路径也是不 稳定的。从一定意义上说，哈罗德多马模型倒可以用来解释一些非均衡增长的 现象。哈罗德多马模型作为一种早期的增长理论，虽然具有

10、简单、明确的特点， 但该模型关于劳动和资本不可相互替代以及不存在技术进步的假定也在一定程 度上限制了其对现实的解释。在西方经济增长理论的文献中，经济学家几乎公认， 美国经济学家罗伯特索洛在20世纪50年代后半期所提出的新古典增长理论是 20 世纪五六十年代最著名的关于增长问题的研究成果。下面就来讨论新古典增 长理论。模型二、索洛经济增长模型(Solow Growth Model)是罗伯特索洛所提 出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型， 是在新古典经济学框架内的经济增长模型。索洛模型变量外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量：投资 索洛模型的数学公式

11、模型的基本假定R 索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德多马经济增长模型的优 点，又摒弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。索洛认为，哈罗德多马模型只不过是一种长期经济体系中的 “刀刃平衡”， 其中，储蓄率、资本一产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有 偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货膨胀。用哈罗德的话来说，这种 “刀刃平衡”是以保证增长率(用 Gw 表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的 习惯)和自然增长率(用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增 加)的相等来支撑的。索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德一多马模型 的劳动力不能取代资本，

12、生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这 种假设， Gw 和 Gn 之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路，索洛建立 了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。该模型的假设条件包括：1. 只生产一种产品，此产品既可用于消费也可用于投资。2. 产出是一种资本折旧后的净产出，即该模型考虑资本折旧。3. 规模报酬不变，即生产函数是一阶齐次关系式。4. 两种生产要素（劳动力和资本）按其边际实物生产力付酬。5. 价格和工资是可变的。6. 劳动力永远是充分就业的。7. 劳动力与资本可相互替代。8. 存在技术进步。 在这些条件下，索洛建立的模型向人们显示出：在技术系数可变的情况下， 人均资本量

13、具有随时间推移而向均衡状态的人均资本量自行调整的倾向（图一， k1与k2逐渐趋向ko）,即，当人均资本量大于其均衡状态时（k2）,人均资本 量会有逐渐减小的趋势，即资本的增加就会比劳动力的增加慢得多；反之，亦然。 索洛是人均资本量入手集中分析均衡（即稳定状态）增长路径的。模型的基本框架 索洛把经济中的全部产出看成仅仅是一种产品的产出。其每年生产量用 Y（t） 表示，代表社会的实际收入，其中一部分被消费掉，其余部分用于储蓄和投资。 用于储蓄的占总产品比例s固定不变，即储蓄量为sY（t）。K（t）是资本存量。这种 资本存量的增加量就是净投资，即dk/dt或人因此，索洛模型的基本方程式可以 写成：（

14、1）因产出是用资本和劳动力生产的，技术能力可用生产函数 来反应： Y=F（K,L） （ 2）且该函数满足假设规模报酬不变。把（2）式代入（1）式，有：L（t） = C的增长是外生变量，劳动力以一个不变增长率n增加。因此：（4）索洛把n看成是在没有技术进步情况下的哈罗德的 自然增长率（Gn）,把L（t）看成是在t时期可利用的劳动力供给。（4）式的右边表 明劳动力从0期到t期的综合增长率。我们还可以把（4）式看作是劳动力的供 给曲线， “它说的是以指数增长的劳动力完全无弹性地得到就业。劳动力供给曲 线是一条纵向线，它随着劳动力按（4）式的增长而向右移动。于是，调整实际 工资率以使全部可利用的劳动力

15、得到雇佣，而边际生产力等式决定着这种实际上 得到控制的工资率”。把（4）式代入（3）式，索洛给出下列基本方程式：（5）他把这个方程式作为在全部可利用的劳动力得到充分利用的情况下决定必 须遵循的资本积累的时间轨迹方程式。资本存量和劳动力的时间轨迹一经确知， 相应的实际产出的时间轨迹就可根据生产函数计算出来。实际工资率的时间轨迹&F（K丄）_w =可用边际生产力等式确定，即（6）索洛把经济增长过程概括为： “在任何时候，可利用的劳动力供给都由等式（4）给定，而且可利用的资本存量也是一个已知数。既然生产要素的实际报酬 可调整而使劳动力和资本得以充分利用，我们就能利用生产函数等式（2）求出 当期产出量。于是，储蓄倾向告诉我们多少净产出将用于储蓄和投资，从而我们 得知当期的资本净积累，再加之已积累的存货，这就为下一期提供了可利用的资本”。 可能的增长类型：上一节的方程式（5）有助于研究资本一劳动力比率（K/L）的行为。为此, 索洛引入了一个新的变