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1、莆田四中2012-2013学年高二（15）期中考试数学试卷（理） 命题人：翁建新 审核人：陈世洪 2012.11.17一、选择题：本大题共10小题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集，则为（ ）A B C D2已知为等差数列，若，则的值为( )A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ）A命题“若，则”的逆命题是真命题；B命题“”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题；C已知，则“”是“”的充分不必要条件；D命题“”的否定是“0”；4若的展开式中第项的二项式系数是，则展开式中所有项系数之和为（ ） A B C D5某所学校计划招
2、聘男教师名，女教师名，须满足约束条件,则该校招聘的教师人数最多是（ ）A6B8C10D136设偶函数（的部分 图象如图所示，为等腰直角三角形，则的值为( ) A. B. C. D. 7某同学有同样的画册本，同样的集邮册本，从中取出本赠送给位朋友每位朋友本，则不同的赠送方法共有（ ）A种 B种 C种 D种8某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧则该几何体的体积为（ ） A B C D 9已知函数有两个零点、，则有（ ）A B C D10对于有相同定义域的函数，若存在函数，对于任意给定的正数，存在相应的,使得当且时，总有，则称直线为曲线的“分渐近线”。给出定义域为的四组函数如下：；
3、 ； 其中，曲线存在“分渐近线”的是（ ） A B CD二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上11为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校名授课教师中抽取名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图如图所示据此可估计该校上学期名教师中，使用多媒体进行教学次数在内的人数为_ _； 图1412设在4次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率等于，则在一次试验中事件A发生的概率是 ；13已知向量=,若，则的最小值为 ；14. 阅读右侧程序框图，输出结果的值为_ _；15. 某同学由于求不出积分的准确值，于是他
4、采用“随机模拟方法”和利用“积分的几何意义”来近似计算积分.他用计算机分别产生10个在上的均匀随机数和个在上的均匀随机数，其数据记录为如下表的前两行.2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 0.92 0.01 0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80 则依此表格中的数据，可得积分的一个近似值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（本题满分分）在等差数列
5、an和等比数列bn中，a1=b1=1，b4=8，an的前10项和S10=55.（1）求an和bn；（2）现分别从an和bn的前4项中各随机抽取一项，求这两项的值相等的概率。 17.（本题满分分）已知直线l：yxm，mR.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C： 是否相切？说明理由18.（本题满分分）某单位组织群众性登山健身活动，招募了名师生志愿者，将所有志愿者现按年龄情况分为1520,2025,2530,3035,3540,4045等六个层次，其频率分布直方图如图所示：已知3035之间的志愿者
6、共8人，（1）求和2030之间的志愿者人数;（2）已知2025和3035之间各有2名英语教师，现从这两个层次各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人选中都至多有1名英语教师的概率是多少？（3）组织者从3545之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中男教师的数量为，求的概率分布列和平均值。19.（本题满分分）如图，三角形PAB是半圆锥PO的一个轴截面，PO=1，AB=2，四棱锥的底面为正方形，且与圆锥PO的底面共面.（1）若H为圆锥PO的底面半圆周上的一点，且BHOC，连AH，证明：;（2）在圆锥PO的底面半圆周上确定点G的位置，
7、使母线PG与平面PCD所成角的正弦值为.20.（本题满分分）某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4万米，BC = 6万米，CD = 2万米（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积；ABCDP（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值21. （本题满分14分）函数,其中为常数,且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线
8、互相平行()求此平行线的距离；()若存在x使不等式成立，求实数的取值范围； ()对于函数和公共定义域中的任意实数，我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于高二（15）期中考试数学试卷（理）答案一选择题：AADCC DBCDC二填空题： 1/3 6 (e-1)三、解答题：16. (1)an=n和bn=2n-1 (2) 3/1617. 解法一：(1)依题意，点P的坐标为(0，m)因为MPl，所以11，解得m2，即点P的坐标为(0,2)从而圆的半径r|MP|2，故所求圆的方程为(x2)2y28.(2)因为直线l的方程为yxm，所以直线l的方程为yxm.由得x24x
9、4m0. 4244m16(1m)当m1，即0时，直线l与抛物线C相切；当m1，即0时，直线l与抛物线C不相切综上，当m1时，直线l与抛物线C相切；当m1时，直线l与抛物线C不相切解法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x2)2y2r2.依题意，所求圆与直线l：xym0相切于点P(0，m)，则解得所以所求圆的方程为(x2)2y28.(2)同解法一18.解：（1）N=40 ; N1=24(2)设“所选出的人选中都至多有1名英语老师”为事件A； P（A）= = (3)由题意知，女教师有4名，男教师有2名； X=0,1,2X012PP(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=所以分布
10、列为均值为0+1+2=1.19. 解：() H为圆锥PO的底面圆周上的一点，1分又2分平面ABCD，平面ABCD平面PCO，4分平面PCO，5分（）以O为原点，OA方向为轴，OP方向为轴建立空间直角坐标系，6分则，7分设平面PCD的一个法向量为，则由得，取得平面PCD的一个法向量为；9分G为圆锥PO的底面圆周上的一点，可设，依题意得，10分解得，12分点G的坐标为13分20.解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以ABC +ADC = 180，连接AC，由余弦定理：AC2 = 42 + 62 246cosABC = 42 + 22 224 cosADC所以cosABC =，ABC(0，)，故
11、ABC = 60S四边形ABCD = 46sin60+24sin120= 8（万平方米）4分在ABC中，由余弦定理：AC2 = AB2 + BC 2 2ABBCcosABC = 16 + 36 246 AC = 6分由正弦定理，（万米）8分（2）S四边形APCD = SADC + SAPC又SADC = ADCDsin120= 2，设AP = x， CP = y则SAPC = 10分又由余弦定理AC2 = x2 + y2 2xy cos60= x2 + y2 xy = 28x2 + y2 xy2xy xy = xyxy28 当且仅当x = y时取等号12分S四边形APCD = 2+ 最大面积为9万平方米14分 21. 解：（）， 的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为，由题意得，即 2分又，。，函数和的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：,两平行切线间的距离为。4分（）由得，故在有解，令，则。当时，；当时，故即在区间上单调递减，故，即实数m的取值范围为。9分（）解法一：函数和的偏差为：，设为的解，则当，；当，在单调递减，在单调递增，故即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2。14分解法二：由于函数和的偏差：，令，；令，在单调递增，在单调递减，在单调递增，即函数和在其其公共定义域内的所有偏差都大于2。第 5 页 共 8 页
