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1、课时作业53双曲线一、选择题1(2018浙江卷)双曲线y21的焦点坐标是(B)A(，0)，(，0) B(2,0)，(2,0)C(0，)，(0，) D(0，2)，(0,2)解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2a2b2314，所以c2，故焦点坐标为(2,0)，(2,0)故选B.2已知双曲线C的渐近线方程为y2x，且经过点(2,2)，则C的方程为(A)A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意，设双曲线C的方程为x2(0)，因为双曲线C过点(2,2)，则22，解得3，所以双曲线C的方程为x23，即1.3设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别为A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲
2、线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(C)A BC1 D解析：由题设易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.A1BA2C，1，整理得ab.渐近线方程为yx，即yx，渐近线的斜率为1.4设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|AF2|的最小值为(B)A. B11C12 D16解析：由题意，得所以|BF2|AF2|8|AF1|BF1|8|AB|，显然，当AB垂直于x轴时其长度最短，|AB|min23，故(|BF2|AF2|)min11.5(2019河南新乡模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴的一
3、个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为(D)A.1 B.1C.1 D.1解析：不妨设B(0，b)，由2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得1，即，又|4，c2a2b2，a22b216，由可得，a24，b26，双曲线C的方程为1，故选D.6(2019山东泰安联考)已知双曲线C1：1(a0，b0)，圆C2：x2y22axa20，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是(A)A. B.C(1,2) D(2，)解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为yx，即bxay0，圆C2：x2y22axa20可化为(xa)2y2a2，
4、圆心C2的坐标为(a,0)，半径ra，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c24b2，又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，即c2a2，所以e1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为，故选A.二、填空题7实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程为x21或y21.解析：2a2,2b4.当焦点在x轴时，双曲线的标准方程为x21；当焦点在y轴时，双曲线的标准方程为y21.8(2019河南安阳二模)已知焦点在x轴上的双曲线1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是(0,2)解析：对于焦点在x轴上的双曲线1(a0，b0)，它的焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离为b.本题中，双曲
5、线1即1，其焦点在x轴上，则解得4m0，b0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，APQ的一个内角为60，则双曲线C的离心率为.解析：设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又APQ的一个内角为60，所以APQ为正三角形，则PFx60，所以PFAFac，PF13ac，在PFF1中，由余弦定理可得PFPF2FF2PFFF1cos120.故3c2ac4a20，整理得3e2e40，解得e.三、解答题11已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交
6、于不同的两点A，B，求|AB|.解：(1)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，解得c3，b，双曲线的方程为1.(2)双曲线1的右焦点为F2(3,0)，经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为y(x3)联立得5x26x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|AB|.12(2019湛江模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解：(1)因为双曲线
7、的渐近线方程为yx，所以ab.所以c2a2b22a24，所以a2b22，所以双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足()1，所以x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，所以x0c，所以点A的坐标为，代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又因为a2b2c2，所以将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，所以348240，所以(3e22)(e22)0，因为e1，所以e，所以双曲线的离心率为.13(2019河南洛阳联考)设F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，过F1引圆x2y29的切线F1P交双曲线的右支于点
8、P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|等于(D)A4 B3C2 D1解析：连接PF2，OT，则有|MO|PF2|(|PF1|2a)(|PF1|6)|PF1|3，|MT|PF1|F1T|PF1|PF1|4，于是有|MO|MT|1，故选D.14(2019河南适应性测试)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为(D)Ay2x ByxCyx Dyx解析：不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，
9、所以|PF1|4a，|PF2|2a.又因为所以PF1F2为最小内角，故PF1F2.由余弦定理，可得，即(ac)20，所以ca，则ba，所以双曲线的渐近线方程为yx，故选D.15(2019河北衡水中学二模)已知双曲线C：x21(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线C上的任意一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，若四边形PAOB(O为坐标原点)的面积为，且0，则点P的横坐标的取值范围为(A)A.B.C.D.解析：由题易知四边形PAOB为平行四边形，且不妨设双曲线C的渐近线OA：bxy0，OB：bxy0.设点P(m，n)，则直线PB的方程为ynb(x
10、m)，且点P到渐近线OB的距离为d.由解得B，|OB|bmn|，SPAOB|OB|d.又m21，b2m2n2b2，SPAOBb.又SPAOB，b2.双曲线C的方程为x21，c3，F1(3,0)，F2(3,0)，(3m)(3m)n20，即m29n20，又m21，m298(m21)0，解得m或m0，b0)的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q，R两点(Q在第二象限内)，连接RO(O为坐标原点)并延长交C的右支于点P，若|F1P|F1Q|，F1PF2，则双曲线C的离心率为.解析：如图，设|PF1|x，则|PF2|x2a，作Q关于原点对称的点S，连接PS，RS，SF1.因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO|OR|，S在双曲线上，所以四边形PSRQ是平行四边形，根据对称性知，F2在线段PS上，|F2S|QF1|x，则F1PS，根据双曲线的定义，有|F1S|x2a，所以在PF1S中，由余弦定理得(x2a)2x2(2x2a)22x(2x2a)，解得xa，所以|PF2|a，所以在PF1F2中，由余弦定理得4c2222aa，整理可得e.1
