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1、对角互补模型【说明】：（知二推一）在四边形中，已知一组邻边相等、其它两边夹角平分线、对角互补。【题目】：如图，在四边形ABCD中,zB+zD=180,zBCA=zDCA，求证：AB二AD。A【解析】：过点A作AJ丄CD,AK丄BC,垂足分别为J、KzBCA=zDCA且AK丄BC,AJ丄CDAK=AJ（角平分线上的点到角两边距离相等）zAKB=zAJD=90又zABC+zADJ=180 zABC+zABK=180 zABK=zADJ（同角的补角相等）在ABK和ADJ中zABK=zADJzAKB=zAJDAK=AJaABKADJ(AAS)ab=ad【题目】：如图,在四边形ABCD中,AB=AD,z
2、B+zD=180,求证：zBCA=zDCAo【解析】：过点A作AJ丄CD,AK丄BC,垂足分别为j、kAK丄BC,AJ丄CD zAKB=zAJD=90又zABC+zADJ=180 zABC+zABK=180 zABK=zADJ(同角的补角相等)在abk和ADJ中zAKB=zAJDzABK=zADJAB=ADaABKADJ(AAS)ak=aj CA平分zBCD(角平分线的判定定理) zBCA=zDCA【题目】：如图，在四边形ABCD中,AB=AD,zBCA=zDCA,求证:zB+zD=180o【解析】：过点A作AJ丄CD,AK丄BC,垂足分别为j、kzBCA=zDCA且AK丄BC,AJ丄CDAK
3、=AJ（角平分线上的点到角两边距离相等）zAKB=zAJD=90在RfABK和RfADJ中-AB=ADAK=AJRfABKRfADJ(HL)zABK=zADJzABC+zABK=180zABC+zADJ=180即zB+zD=18090。_90。全等型:【题目】：如图，已知zAOB二zDCE二90,OC平分zAOB，求证：CD二CE,OD+OE=JOC,SODce二OC2【解析】：点C作CM丄OA于点M,CN丄OB于点N0C平分zAOB且CM丄OA、CN丄OBCM二CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）zCMD=zCNE=90在四边形ODCN中，由题意可得zCDO+zCEN二180又zCDO+
4、zCDM=180 zCDM=zCEN（同角的补角相等）在CDM和MEN中zCDM=zCENzCMD=zCNECM二CN CDMCEN（AAS） CD二CE四边形MONC为正方形OM二ON二耳OCOD+OE二OD+ON+NE二OD+ON+DM二OM+ONOD+OE=VEOC又四边形MONC为正方形且SaM=SENSodce=Sodce=%OC2.【变式】：如图,zAOB二zDCE二90,OC平分zAOB，则可得到如下几个结论：CDOC平分zAOB且CF丄OA、CG丄OBCF二CG(角平分线上的点到角两边的距离相等)zCFD=zCGE=90四边形CFOG为正方形z1+z2二90,z3+z2二90。
5、 z1二z3 aCDFaCEG(ASA)CD二CEFD=GE在正方形CFOG中，0F二0G二OC,OE-OD二OG+GE-OD二OG+FD-OD二0G+OFOE-OD=竽OC二卡OCS-S=S+S-(S-S)=S+S-S+S二OC2.COECODCOGCGECFDCFOCOGCGECFDCFO260。一120。全等型：【题目】：如图，已知zAOB二2zDCE二120,OC平分zAOB,求证:CD二CE,ODOC平分zAOB且CF丄OA、CG丄OBCF二CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）.zCFD=zCGE=90zAOB+zDCE=180zCDO+zCEG=180又zCDO+zCDF=18
6、0/CDF二zCEG(同角的补角相等) CDFCEG(AAS) CD二CE在RfCOF和RfCOG中,/COF二/COG二60OF二OG二OC2又OD+OE二OD+OG+EG二OD+OG+DF二OF+OG OD+OE二OC二OC2 SCDOE=2S-CFO=V3/4OC2.12060全等型：【题目】：如图,ABC中,/ABC=120,D为三角形外一点,若/ADC=60,且DB平分/ADC,求证:AB=BC,AD+CD=/3BD,rn=V3/4BD2.ABCD。0二如附/Davzfcgauo09=Dav7da=aD+ad+dv=aD+av3D=dv（SVV）3D9vdvgv.（翕申觀*阴曲回）3
7、D97=dvg7Vo08I=3D97+aDg7.汪o08i=aD97+dvg7.o08i=Dav7+Dgv7o06=D397=Vdg7.（翕目*屋目的剽护r解B圭曲）兀二阳DaTsgavTdguDavzfcga.-.3DQTsg7davTjgg:【蜩】AD+CD=V3BDSabcd=2Sabfd3/4bd2-【跟踪训练】1. 如图，画zAOB=90,并画zAOB的平分线，将三角尺的直角顶点落在角平分线上的任意一点P，使三角尺的两条直角边与zAOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由2. 在MBC中,AD是zBAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且zEDF+z
8、EAF=180,求证：DE=DF.3. 已知aABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.(1)如图1,当点D在边BC上时. 求证:aABDaACE; 直接判断结论AC二DC+CE是否成立(不需证明)；(2)如图2,当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出AC,DC,CE之间存在的数量关系,并写出证明过程.4. 女口图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中zBAE二/BCE二zACD二90,且BC二CE,求证:ABCDEC.5. 已知三角形ABC中,zA=90,AB二AC,D为BC的中点.(1) 如图,E,F分别是AB,A
9、C上的点，且BE=AF，求证：9EF为等腰直角三角形.(2) 若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE二AF,其他条件不变，那么DEF【解析1】：PE=PF，理由是：过点P作PM丄OA,PN丄OB,垂足是M,N,贝OzPME=zPNF=90,vOP平分zAOB,aPM=PN,vzAOB=zPME=zPNF=90,azMPN=90,vzEPF=90,azMPE=zFPN,rZPME=ZPNF在EM和FN中PM二PN、ZMPE=ZNPFPEMPFN(ASA),PE二PF.【解析2】：过D作DM丄AB于M,DN丄AC于N即zEMD=zFND=90AD平分zBAC,DM丄AB,DN丄ACDM二D
10、N(角平分线性质)nEAF+,EDF=180,zMED+zAFD=360-180=180vzAFD+zNFD=180zMED=zNFD在MD和aFND中，MED=DFNDME=DNFDM=DNEMDFND(AAS)DE=DF【解析3】：(1丿.ABC和MDE是等边三角形，azBAC=zDAE=60,AB=BC=AC,AD=DE=AE.azBAC-zDAC=zDAE-zDAC,azBAD=zEAC.在ABD和ace中AB=ACZBAD=ZEAC,:AD=AEABD竺MCE(SAS).ABD聖ACE,BD=CE.BC=BD+CD，BC=CE+CD.即AC=CE+CD2)BC+CD=CE.ABC和M
11、DE是等边三角形，azBAC=zDAE=60,AB=BC=AC,AD=DE=AE.azBAC+zDAC=zDAE+zDAC,azBAD=zEAC.在ABD和ace中AB=ACZBAD=ZEAC,:AD=AEABD竺MCE(SAS).BD二CE.BD=BC+CD，CE=BC+CD;即CE=AC+CD【解析4】：vzBAE二zBCE二zACD二90,z1+z2=z2+zD=90,z3+z4=z4+z5=90z1=zD,z3=z5,在ABC和DEC中z1=zD,z3=z5,BC二CE,ABCDEC(AAS)解析5】(1)证明：连结AD.tAB二ACzBAC二90D为BC的中点azB=zBAD=zDAC=45,AD丄BCBD=AD,zBDA=90。又BE二AF.mBDE竺ADF(SAS)aED二FDzBDE=zADFzEDF=zEDAzADF=zEDAzBDE=zBDA=90DEF为等腰直角三角形aDEF仍为等腰直角三角形证明：连结ADAB二ACzBAC二90D为BC的中点zDAC二zBAD二zABD二45,AD丄BCBD二AD,zBDA二90azDAF二zDBE二135又AF二BEaDAFDBE(SAS)aFD二EDzFDA二zEDBzEDF二zEDB+zFDB二zFDA+zFDB二zADB二90.mDEF仍为等腰直角三角形
