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1、探究(1)在图1中，已知线段AB , CD,其中点分别为E, F。若A (-1,0), B (3,0),贝U E点坐标为;若C (-2,2), D (-2,-1)，则F点坐标为;(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A (a, b), B ( c, d),求出图中AB中点D的坐标(用含a, b, c , d的代数式表示)，并给出求解过程；归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A( a , b), B( c , d), AB中点为D( x , y)时，x=, y=(不必证明)运用3在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数-的图象交点为A , B。求出交点A , B的坐标；若
2、以A , O, B , P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题.1 两个结论，解题的切入点数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。1
3、.1 线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为（xi,yj，点B坐标为（X2, y2），则线段AB的中点坐标为（Xi+X2%+丫2）2 ,2.证明：如图1,设AB中点P的坐标为（xp,yp）.由XP-xI=X2-xP Xp=已X2，同理2yp=Zy2,所以线段AB的中点坐标为（仝竺，上空）.Jh7洛222.二户/L1.2平行四边形顶点坐标公式一图; ABCD 的顶点坐标分别为 A（Xa, yA）、B（Xb, yB）、C（Xc, yc）、D（Xd,y。），则：Xa+Xc=Xb+Xd；yA+yc=y b+Yd.d证明：如图2,连接AC、BD，相交于点点E为AC的中点，上二e点坐标为XC,空匹）
4、.22图2又点E为BD的中点，E点坐标为（Xk,3D）.冷空22,XA+Xc=X b+Xd ； yA+yc=yB+yD.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等.2一个基本事实，解题的预备知识图3如图3,已知不在同一直线上的三点A、B、C,在平面内另找一个点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形答案有三种：以AB为对角线的口 ACBDi,以AC为对角线的口 ABCD2,以BC为对角线的d ABD3C .3两类存在性问题解题策略例析与反思3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题例1已知抛物线y=x2-2x+a(av 0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=-
5、x-a分别2与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点 M与N的坐标，贝U M(), N()；(2)如图4,将么NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N 恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D,连接CD,求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线y=x2-2x+a(av 0)上是否存在一点P,使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由解：(1)M(1,a-1), N(4a,-a)；(2后=-八；S 四边形 adcn-3；3341641(3) 由已知条件易得 A(0, a)、C(0,-a)、N(-a
6、,-a).设 P(m, m2-2m+a).3340 +0 = a +m3a -a =-】a +m2 -2m +a .35 m=215 a =8- P1(-,-5)；2 8当以AN为对角线时，得:0 a =0 m3a -1 a = -a +m2 -2m +a35m -2 (不合题意，舍去15a =8图4当以CN为对角线时，得:40 + a =0 +m31 =a m2 -2m aaa37).1 m =23 a = 一-1 7-)和p2(-L -)，使得以方在抛物线上存在828是平行四边形反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标,C、N为顶点的四边形运用平行四边形顶点坐标公式列方程(
7、组)求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚,往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论，得:当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式(解题时熟练推导出)3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题例2如图5,在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0), B(3,0),。(0,-1)三点.(1)求该抛物线的表达式；y= x3(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点 Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.解：(1)易求抛物线的表达式为12 ix1；Q坐标为(0,力点P在抛物线上题意知点Q在y轴上，设点33设点P坐标为(m,
8、i m2 m -1).尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了.5由四个顶点的横坐标公式-1+0 = 3+m，- P (425);当以AQ为对角线时， m=-4,. P 1(-4,7)；当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0,. m=4,当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0,二m=2,综上，满足条件的点P为Pd-4,7)、P2(4,?)、P3(2,-1).3反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0,则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0
9、,则用平行四边形顶点横坐标公式.该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设.另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.例3如图6,在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0), B(0,-4), C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2) 若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为, AMB的面积为S.求 S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3) 若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边
10、形，直接写出相应的点Q的坐标.解：(1)易求抛物线的解析式为y=x2+x-4;22(2) s=-m -4m(-4m0)； s 最大=4(过程略)；(3) 尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程.由题意知0(0,0)、B(0,-4).由于点Q是直线y=-x上的动点，设Q(s,-s),把Q看做定点；设P(m, m2+m-4).2当以OQ为对角线时，0+s =0+m120-s = Y m m 4 s=-2-2：5. QM-2+25,2-2.5), Q2(-2-2.5,2+2.5);当以BQ为对角线时，0+m =0+s1 20+m +m_4=_4_s.2二 Sj=-4, S2=0(舍).- Q3(-
11、4,4)；当以OB为对角线时，0+0=s +m120-4=-s+m +m42二 Si =4, S2=0(舍).Q4(4,-4).综上，满足条件的点Q 为 Qi (-2+2.5,2-2.5)、Q?(-2-2.5,2+2,.5)、Q3(-4,4)、Q4（4,-4）.反思：该题中的点Q是直线y=-x上的动点，设动点Q的坐标为（s,-s），把Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了4问题总结这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公
12、式转化为方程（组）这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想如图，在平面直角坐标系中，已知RD AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x27x+12=0的两根（OA C2相交于点 D,求四边形AOCD的面积.(3)已知抛物线C2的顶点为M,设P为抛物线Ci对称轴上一点，Q为抛物线Ci上一点，是否存在以点M、Q、P、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P点坐标；不存在，请说明理由.图(1)图(2)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x -3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A , C两点，且与x轴交于另一点B (点B在点A右侧).(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME 长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M , F, B, P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.
