《数列求和倒序相加法错位相减法裂项相消法分组求合法等》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列求和倒序相加法错位相减法裂项相消法分组求合法等（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点4数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）(2Wk 且 kCN*),数列 a n2, 3,2n 1),其中常1 （2015江苏苏州市高三上调考）已知数列a 共有2k项n的前n项的和为S，满足a =2， a = （p1） S +2 （n=1,n1n+1n数p1（1）求证：数列 a 是等比数列；n2-(2)若p=22k-1 ,数列bn满足b = logn n 2(a a . a12n,2,2n),求数列b n的通项公式3的前2k项的和.（3）对于（2）中的数列 b ，记c =1 b -1，求数列 cnnn 2n【考点】数列的求和；数列的应用.,a【解】（1）证明：当n=1时
2、，a =2p,则一2 = p，2 a1当 2Wn 时，a = （p1） S + 2， a = （p1） S + 2，n+1nnn-1a a = (p1) a ，即 a = pa ，n+1 nnn+1na= p， an故数列a 是等比数列.n(2)由(1),得a = 2pn-1 (n=1，2,., 2n)，n(n-1) n a a a = 2 np1+2+3+.+n-1 = 2n p 2 12n2=2n 22 k-1(n 1)n2=2n+(n 1) n2 k-1b = log (a a . a )nn 2 12n1 (丄(n 1)n)n 2k -1(n 1)=+1， (n=1， 2，2n)，2k
3、 17(n 1).即数列bn的通项公式为b =+1 , (n=1, 2,., 2n).n2k 13 31(3) c =| b 一 1，设b ，解得 nW k +，n n 2n 2233又n为正整数，于是：当nWk时，b V ；当n三k+1时，b n 2n 2数列 c 的前2k项的和:b1 - 33 33333二（厂 b1） + （厂 b2） + . +（3 一 bk） + （bk +1 - 2）+ （bk + 2 - 2）+ + （b2 k -壬=（b + b +.+ b ）一（ b + b +.+ b ）k +1k +22k12k2k-1k +（k +1）+ +（2k-1）- 2k-1 +
4、2 + +（k-1）=2k 12(2015江苏高考冲刺压轴卷(三)设数列 a 的前n项和记为S，且S = n2 -3n + 4.nn(1)求数列a 的通项公式;n7 a,(2)设b =才，记数列bnn 3n2 5的前n项和记为T，,求证：Wt v n3 n 6【考点】错位相减法求和【解】(D当n=1时，a广2,当 n2 时，a 二 S 一 S 二 2n 一 4，故 a 二nnnn-12 n =12n 4 n2 3n2 ,n = 132n - 4，其中T = 2，当n2时,13T = 2+2+.+匕, n 3323n22 n - 4 + +. 3323352n -125（n2），由于b 三0，.
5、:三WT V . 61 t = Z+.+匕,3 n 32333n+l一得，3T2 23 n3n+1Tn 62 x 3n3( 2015江苏高考冲刺压轴卷(三)已知数列 a 中,na1=1，二次函数f （X ） = 2 an - X2 + （鼻一 an+1吠的对称轴为* 2(1)试证明na 是等差数列，并求a 的通项公式;nn(2)设a 的前n项和为S，试求使得S V3成立的n的值，并说明理由. nnn【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和.- a+1) -x的对称轴为x=2【解】(1) 二次函数f (x) = a -x2 + (2-n2 n2-n a 1n 11 =1a丰Q
6、小12，整理得a =三an2 X an+122 n二2 (常数),左右两边同时乘以2n+1，得2n+1 a= 2na + 2，即2n+1 a- 2nan+1nn+1na 是以2为首项，2为公差的等差数列,n 2na = 2 + 2(n一 1) = 2n ,n2n n a =n2n2n-1123= + + +. +2o Sn1S2，21222n-22 n-1123 n 一 1 n+ + . + + ,212 22 32n- 1 2n2n-得:1S2 j=1 +丄+丄+丄+ 12122231丄一 n=_一 _n27,2n-12n2n-12n2nn + 2 整理得S = 4 2n-1数列Sn是单调递
7、增数列.n + 2要使S V3成立，即使4 V3，整理得n+22n-1,n2n-1: n=1, 2, 3.4(2015江苏省南京市高三考前综合)公差不为零的等差数列。n的前n项之和为S ,na + k且S (n )2对nW N *成立. n 2(1)求常数k的值以及数列 a 的通项公式;n(2)设数列a 中的部分项a , a ,nk1k2，食，恰成等比数列，其中k1 2, J3 314, 求a k +ak+.+ak 的值.1 12 2n n.n + 3 _ n + 2、 n + 1、八 =4 (4 ) =0,【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法.【解】(1)法一：条
8、件化为2、$= a +k对n N*成立.卞 nnn(n 1)d设等差数列公差为d，则2、：化+ =a+(n1)d+k .2、：a a + k 1 1分别令n = l, 2, 3得:由+一2x2、：2a + d a + d + k1 12p3a + 3d a + 2d + k Qa + J3a + 3d 2j2a + d .两边平方得，4a + d=2、：3a2 + 3a d .两边再平方得，4a124a1d+d20 解得d=2 a1代入得，4宓3d+k，由-得,a何所以a1 0，或a1 又当a10时，d0不合题意所以a11, d2代入得k= 1.a + k而当 k=1，a =1，d=2 时，S
9、 =n2, a =2n1，等式 S =(f)2对 n N*成立.1nnn2所以 k=1，a =2n1.n法二：设等差数列的首项为a，公差为d,1则 S =na +d=0n2+(a 一 )n , a =a +(n一1)d=dn+(a 一d).n 12212n 11代入 S =(匕)2得，f n2+(a 一$n= ；dn+(a +kd)2,n 221241即 2dn2+(4a 2d)nd2n?+2d(a + kd)n+(a + kd)2.111因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，2d = d 24a 2d 2d (a + k d)11a + k d 01因为d#0,所以解得，许
10、=1所以常数k=1,通项公式a =2n-1.k = 1c = a = a =27 .3k314(2)设c = a，则数列c 为等比数列，且c =a =a =3,n kn1 k2n1c故等比数列 c 的公比q满足q2=一 =9nc1又 c0,所以 q = 3 .所以 c =Cqn-1 = 3 x 3n-1 = 3n . nn 1又 c = a =2k 1，所以 2k 1 =3“ .n 片 nn. 12n 1. 2n 1由此可得k x3n+ 所以a k x3n+n 22n n22113355所以 a k + a k +. + a k = ( x 31 + ) + ( x 32 + ) + ( x
11、33 + )11 22 nn 222222+1 x 3n +1) = l1x 31 + 3 x 32 + 5 x 33 + (2n 1) x 3n 2 2 2+ 丄1+3 + 5 + (2 n 1) = lx 31 + 3 x 32 + 5 x 33 + (2n 1)x 3n +1 n 2.2 2 2法一：令S = lx31 + 3x32 + 5x33 + (2n 1)x3“,则 3S = 1 x 32 +3 x 33 + +(2 n 3) x 3n +(2 n 1) x 3“+1,2( n 1)x 3n+1x 3n+1 + 3，代入得 a k +a k +1 1 2 2+a kn n两式相减
12、得:2S=3+2 x 32 +2 x 33 +2 x 3“ (2 n 1) x 3“+1，S =-2x 3(1 3n) 3 (2n 1)x 3n+11=3(1 3n) 3 (2 n 1)x 3n+121 3211(n 一 1) - 3n+1 + n 2 + 32=x (n -1) x 3n+1 + 3 + n22 2法二：因为(2 k 1) x 3k = (k +1) 2 x 3k+1 (k 2) x 3k = (k 1) x 3k+1 (k 2)x3k .所以 S = 0x32 (1)x31 + 1x33 0x32 + 2x34 1x33+ (n 1)x 3n+1 (n 2) x 3n =(n1)x 3n+1+3 代入得 a k + a k + + a k1122n n=(n 1) - 3n+1 + n 2 + 3-| 1x 3n+1 + 3 + n 2 25(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知a 是等差数列，其前n项n的和为S， b 是等比数列，且a = b = 2， a + b = 21， S + b = 30.nn114444求数列a 和b 的通项公式；nn(2)记c = a b , n e N*，求数列c 的前n项和.
