球面曲线的性质与应用滨赫摘 要 本文是在前人工作的基础上，对前人条件的总结，归纳，改进，研究了球面曲线的充要条件， 又给出了球面曲线的性质，进而又对一类特殊的球面曲线（球面曲线为闭曲线）进行了讨论并对球 面曲线的应用做了一些简单的介绍.关键词 球面曲线 充要条件 闭曲线1 引言球面曲线的充要条件，一直为人们所关注.1963 年 Y C Wong 给出了一个充要条件，1971 年 S Breuer and D Gottlieb又给出一个充要条件.1972年Y C Wong对1971年的文献的结果作了改 进.1975年RLBishop又给出一个充要条件.然而这个充要条件不便于用来检验给定曲线是否为球 面曲线.那么对于寻找一种容易判断的方法是有必要地.在对球面曲线充要条件研究的基础上，原来 空间曲线的一些性质如曲率，挠率等在这种特殊的空间曲线上又有什么其他的结论？我们有必要给 出.2.球面曲线的充要条件及性质曲率与挠率是描述曲线特征重要的两个量，而且容易求得，对于以前的那些充要条件，容易理 解但不便于应用，那么接下来我们就通过曲线的曲率与挠率来给出曲线为球面曲线的条件及其推论 并讨论球面曲线的性质.2.1球面曲线的充要条件引理2.1.1设为中心在原点半径为R的球面上的C的弧长参数表示•选取C的单位切向量，单位半径向量，•称［(s)； (S)；］为曲线在S处的相对平行框架［4］.用“”表示对弧长参数s的导数，用K(s),表示曲线C的曲率和挠率，则有证：因为，，俩边求导得到.t=0,令，贝9(，)为右旋的相互正交的三个单位向量•因为，令则，=，即得(2.1.1)下面的定理中设=(S), 0为弧长参数表示的类正则曲线.定理2.1.1 (s)为球面曲线的充要条件是存在常数R使得或者且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：必要性若X(S)为球面曲线，可设球心在原点，半径为R,设@)为(s)的单位向量，令,，则由引理得到积分得(2.1.2)由（2.1.1），（2.1.2）式得到由（2.1.1）式得故得充分性若，首先有K（S）存在•使得K（）,则上式无意义•上边俩边对S求导，得到=0即令 f（s） =则f.；令 （S）=（S）+则故（S）为常向量，且故（s）在以C为中心半径为R的球面上定理2.1.2 (s)为球面曲线的充要条件是存在常数A, B,使得A且满足这条件的曲线在半径为的球面上.证：必要性若(s)为球面曲线，可设球心在原点半径为R,选取相对平行标架，由引理得到(2.1.3)(2.1.4) 积分(2.1.4)式得R (2.1.5)因为，可设，［(s),(s),(s), (s)］为(s)在$处的Frenet标架，俩边求导得到比较俩边系数,得(2.1.6)(2.1.7) 积分(2.1.7)式，得到(2.1.8) 由(2.1.6)式得(2.1.8) 式代入(2.1.6)式得(2.1.9)由(2.1.3)式得(2.1.10)由（2.1.5）和（2.1.6）消去得（2.1.11）即其中 A=B=又（2.1.8）和（2.1.10）得充分性若存在常数A, B,使得A上式对任意,记求导,得到A即（）令f（s）=则f. （2.1.12） ==- （2.1.13） 令（s） = （s） +应用（2.1.12）,（2.1.13）,得到故C（S）为常向量，为常数，（s）在以C（s）为中心半径为的球面上.定理2.1.3 =(s)为球面曲线的充要条件是存在常数R,使得-R (2.1.14)且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：必要性若X(S)为球面曲线，可设球心在原点半径为R,选取相对平行标架设[(s),(s),(s), (s)] 为(s)在s处的Frenet标架.由引理知则由引理得到比较俩边系数得到-R 充分性若-R则-R俩边求导，得到-R令f(s)=f.令则，故(s)为常向量, +=，即X(S)在以C为中心半径为R的球面上由定理2.1.3容易得到.推论2.1.1 =(s)为球面曲线的充要条件是存在常数R,使得k R且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：在定理2.1.3的证明中，令，并注意可由f.和R二得到Rk=推论2.1.2 X=X(S)为球面曲线的充要条件是存在常数A, B,使得且满足这条件的曲线在半径为的球面上.证：将(2.1.14 )展开且令-R推论2.1.3 X=X(S)为球面曲线的充要条件是存在常数R,使得R且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：在(2.1.16)中,令即得(2.1.17)2.2.球面曲线的性质性质2.2.1类曲线=(s)为球面曲线则其曲率k(s)和挠率满足(A)其中A, B为常数，且满足上式的曲线位于半径为的球面上.(2.1.15)2.1.16)(2.1.17)(2.2.1)证明：设曲线=(s)位于半径为a(>0)的球面上，球心向径为(常向量)，则设沿曲线的Frenet标架为（）将（2.2.1）俩端对s求导，得（）=0这说明（）与正交，因此（）与 共面.若设顺着的正向看时，到的有向角为，则有此俩端对s求导，并利用Frenet公式，整理得（-a（）+a（）=由于是线性无关的，故有2.2.2)(2.2.3)（1- a），（）=0由（2.2.2）的第一式可见再由（2.2.2）的第二式有=0积分得其中为常数.将（2.2.3）代入（2.2.2）的第一式，得aK （S）即a（-（s）=1令A=a则有（A）且（球面半径）3 球面曲线为封闭曲线的条件和性质上面我们对球面曲线进行了讨论，那么球面曲线加上什么条件变为封闭曲线呢？该类曲线又有什么性质呢，接下来我们一起来探讨3.1球面曲线为封闭曲线的条件准备工作考虑平面曲线）在球极投影逆映射下的像：=（），其中S,分别代表弧长参数，为切线方向角函数，单位球心为即.熟知有（3.1.1）将此式对s求导并取模长，经直接计算可知= （3.1.2）记为球面曲线所对应的函数使曲率且挠率，则已知（3.1.3）引理 3.1.1 =-证明由3.3.1）（3.3.2）可得（x，y）=（）代入（3.1.3）易得注引理 3.1.2取球面法向，则的测地曲率证明由公式易得球面曲线封闭的条件设：：（-）是单位球面上的一条曲线，其曲率和挠率都是弧长周期函数，为正数，由［3］可知， 所对应的函数周期函数，其中=，注意到引理1.2，亦为周期函数，若封闭，以为封闭周期，则任取一点为北极向南极切平面作球极投影所得平面曲线一定是封闭 的，且适当选取弧长起点后有确定的方向函数和封闭周期L,其中s为的弧长参数•由平面闭曲线切 线的旋转指标定理和平面曲线基本定理易知，的封闭条件等价于（3.1.4）其中为的切线的旋转指标，记满足（1）式的非常值光滑函数的全体为，则是以L为封闭周期（未 必是最小周期）的平面闭曲线的方向角函数族.注意到和分别是和在确定的量，且反之在刚性运动等 意义下和分别唯一确定和，由引理3.1.1易得下述结论.定理 3.1.1设单位球面上具有弧长参数的曲线所对应的函数为，则封闭的充要条件是存在使（i）=（ii）=-注若球面不是单位的，则有类似结果.为简明起见，以后也总考虑单位球面曲线.3.2球面闭曲线的性质预备知识 定义 一条空间闭曲线（C）: =（s）, 0称为曲线（C）的总挠率（或全挠率）. 一般地，空间闭曲线的总挠率的取值围是：-设（C）是半径为R上的球面曲线，将（C）相似映射到单位球面（s）上，像曲线为（）•设（）：引理 3.2.1 k （c） =证（）=「，K（C）二由于（3.2.1） 故k（C）=引理3.2.2证，（s）=注意到，利用（3.2.1）式即得（s）=推论3.2.1 （c）与（）有相同的总挠率.证由于相似映射是保形映射，所以俩球面上第一基本形式成比例，比例系数为R,因而曲线（c）的弧长=RS，d,所以有引理 3.2.3单位球面上的曲线（），若，其中.3.2.2)证 设（）：，由于从而有=0上式俩段求导，注意到，=，有即1+=0 （11=1）再对上式求导，得+利用弗雷公式，化简后得若令由于.=-，因而有+但是，单位球面上曲线的法曲率并由+= ，得其中因此，，有，.定理3.2.1 球面上正规闭曲线的总挠率等于零证：将球面曲线（c）作相似变换，变换到单位球面（s）上.象曲线记为（）.由引理3.2.2推论知，设在整个闭曲线（）上，则恒为正或恒为负，此时由于因而（K （L） = k （o））.设 在闭曲线（）上一些点处，这时假定在0上有有限个这样的点，例如0=各点因而在开区间（）里不变号.若在闭区间［则该区间对应（）上的是一段测地线，即大圆弧，因而是一段平面曲线，故，有若在开区间（）上总大于零或小于零，则值固定，此时=-=0把各小区间上积分相加，得（）的总挠率定理3.2.1得证定理3.2.2 对于球面上任意闭曲线，有其中是曲线的挠率，K是曲线的曲率.证：设有半径为R上的球面闭曲线（c）,作相似映射，映射到单位球面（S）上，得闭曲线（）.按引理3.2.1、3.2.2，有又，（C）上曲线的弧长d=Rds，故Rds=R再由引理3.2.3，所以命《 ==-=-=0（K （l）=K（0））=0定理3.2.2得证4球面曲线的应用在我们生活的地球上,地球表面十分接近于一个球面.因此,在实际生活中,球面上的几何（简称 球面几何）知识有着广泛的应用.例如,（天体）测量、航空、卫星定位和镜面成像等方面都需要利用球 面几何知识.在理论上,球面几何是一个与欧氏几何不同的几何模型,是一个重要的非欧几何的数学 模型.球面几何在几何学的理论研究方面,具有特殊的重要作用.本讲重点讲述球面几何的一些基本 知识,包括球面对称性与叠合公理、极与赤道、球面三角形的角和以及球面三角形的正、余弦定理等. 通过比较球面几何与欧氏平面几何的差异和联系,感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型.下一讲 重点介绍球面几何在理论与实际中的应用,例如运用球面几何定理证明欧拉公式及正多面体的分类, 球面几何理论在航空导航中的应用以及球面反射和镜面成像等.5 结束语几何学是由于人类生活的需要在人类的社会实践中产生的，因此它所研究的对象，也不外是与 人类生活有关的现实世界的各种物体，他们的物理性质和化学性质千差万别，但它们都无例外的有 一种共同的性质，那就是它们的形状，大小和相互位置关系，几何学就是研究现实世界物体的这种 几何性质的科学.球面上的曲线属于欧氏几何的畴，比较具体并且容易理解，单独的曲线和球面我们都有了系统 和深入的研究，但是对于球面上的曲线知识体系还是不成系统的，鉴于这一点，本文从一般的空间 曲线出发进而研究曲线在球面上的充要条件并讨论了球面曲线的性质，接着给出了一种特殊的球面 曲线即球面上的闭曲线，相应的又对它进行了在球面上的条件即性质的研究.本文依照传统几何学中 对几何对象研究的方法，旨在对球面上曲线的知识做系统的整理，为初学者的学习做一个铺垫，也 为今后进一步研究球面曲线作出一点贡献.本文仍有许多不足之处，希望能够批评指正.参考文献[1] 正清.球面曲线的充要条件.华。