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1、对混叠现象的几点理解一、目的分析混叠产生的原因，加深对混叠现象的理解。二、理论分析混叠现象产生的根源在于采样，如果采样不能够采集原信号足够多的信息的话，就会出 现混叠的现象。三、实例分析这里用一个例子进行分析。Egl:原信号如下：f (t) = cos(2 兀 t) + cos(2 兀.3t)对原来的信号进行展开得到如下式子：f (t) = 0.5e - j 2 兀 t + 0.5ej 2 兀 t + 0.5e - j 2 兀 3t + 0.5ej 2 兀 3t对应的相位是05e - j 2 兀 t ,005ej2兀t ,00.5e - j 2兀 3t ,005ej 2 兀 3t ,0对其进行
2、采样，按照频率4Hz来采样，即每秒钟采样4次，从时刻-0.5s开始采样，得 到的结果如下图所示，cs(2*pi*x)为了更清晰，我们把连续信号的图形加到离散的采样信号结果中。通过上图我们可以看出，发生了混叠现象，混叠就是高频成分的采样值表现形式和结果同低频一样，导致最终总体信号的表现形式为加倍了得低频成分。n3n、f （n） = cos（2兀 _） + cos（2兀）44nn3n3n=05e -J 2k 2 + 0 5eJ 2k + 05e -J 2k T + 0 5eJ 2k 区.2兀n=0.5eJ T.2兀n.6兀n.6兀n+ 0.5ej + 0.5e丿 + 0.5ej.2兀n=0.5eJ
3、 4 2k n./c2k n、.2k n、+ 0.5eJ + 0.5e-J （2 k-）+ 05eJ （2 k-）.2兀n=e -j.2k nT + eJ T=2cos（2兀 n）从上面的推倒可以看出，原来的co心4）cos（2K罟）的现在变成了沁（罟）。这种现象的发生，就是混叠，原因就是因为对于3Hz的分量，采样频率仅为4Hz,无 法完成反映出信号的变化情况。往往在信号处理的最后一步是把离散的信号还原成原始信号，这就需要插值，而插入 点得幅值选取是根据周围点幅度得来的，所以，插值后的结果往往就是低频的连续信号， 而高频信号成分则变成了低频。Eg2：带相位偏差的混叠现象。Kkf （t） = c
4、os（2k t + 耳）+ cos（2k 3t + ?）图4：连续函数将连续信号进行展开得到下式：兀兀f (t) = cos(2 兀 t + _) + cos(2 兀.3t + _)兀兀兀兀=0.5e -j( U)+ 0.5ej( U)+ 05幺一j(“壬 + 05ej(沖壬兀兀兀兀=05e _ j 4 e - j 2 冗 t + 0.5ej 4 e 2 冗 t + 0.5e _ j 2 e - j 2 冗 3t + 0.5ej 2 e 2 冗 3t对于上式，我们可以很容易的看出各个谐波分量的幅值和相位。各个谐波的相位和其对应的 cos 型分量的相位是完全一致的。同时我们也可以展成如下形式兀兀
5、f (t) = cos(2兀 t + _) + cos(2兀.3t + _)王j匹j j王=0.5e-j 4 e-j 2 兀 t + 0.5ej 4 ej 2 兀 t + 0.5e-j 2 e-j 2 兀 3t + 0.5ej 2 ej 2 兀 3t兀兀兀兀=05(cos_ - j sin(_)e- j 2 兀 t + 0.5(cos_ + j sin(_)e 2 兀 t4444兀兀兀兀+0.5(cos_ - j sin(_)e- j 2 兀 3t + 0.5(cos_ + j sin(_)ej 2 兀 3t=呼-中e-j 2t+叮+詐2t+(-2)e-j 23t+2ej ”3t上面式子的结果
6、，是在进行计算的时候，经常得到的情况，其谐波幅值都为标准的复 形式。谐波的幅值和相位信息就含在了该复数中。以呼-孕举例其幅值为卞2+(-乎)2=,；16+16=说=2 其相位为 arctan(2/空)=arctan(-l)=-444所以依次可以得到各个谐波对应的相位兀jej衍3t上2 2这也验证了，相位谱是奇函数，这一结论。同时，值得注意的是:兀_. ”.牛cos(2it+4)= 0.5e7 4 e-j 2兀 t + 0.5e 丿 4 e. 2兀 t其中，两个谐波对的谐波幅值互为共轭，两个基本谐波-j 2兀也是互为共轭，所以乘以 复数幅值后的谐波分量也互为共轭。下面看以下经过4Hz采样后的情况
7、。如下图所示。cas(2*pi*x)图5连续函数采样后对应的离散点列（附加连续函数，便于观察）n 兀n 兀、f(n)二。心 4* 4)+ C0S34 *2)./冗n 冗、./冗n 冗、./6冗n 冗、./6冗n 冗、=0.5ej(2 +4) + 0.5ej (T+4)+ 0.5ej (T+1)+ 0.5ej (+1)./冗n冗、./冗n冗、/c 冗n冗、冗n冗、=0.5e - j(3+? + 0.5ej(3+4) + 0.5ej (2+2)+ 0.5ej (2+1)./冗n 冗、./冗n 冗、./冗n 冗、.z冗n 冗、=0.5ej(3+? + 0.5ej(3+4)+ 0.5ej (飞+壬 +
8、 0.5ej (飞巧).冗.冗n.冗 .冗n.冗 .冗n.冗.冗n=0.5e J 7 e j + 0.5ej 7 e2 + 0.5e -j 2 e】2 + 05e伍 e j.冗.冗.冗n.冗.冗.冗n=(0.5ej 7 + 0.5ej I)e j + (0.5ej 7 + 0.5ej 2)ej3 j)+ j)e尺 + + 2 丫 j)e普 +C呼j -j沁一2r2.冗n厂皿这里2+dz.冗n/e j 2 +(害=;z品* r 了41品2-遐,可12心.冗ne7_2.冗n.冗n0.3826(0.9238 + 0.3826j)e j + (0.9238 0.3826j)e.冗n.冗n沁 0.382
9、6ejo.392699ej2 + e-j0.392699ejT 冗n冗n=0.3826e( T0-392699) + e(亍0-392699)2兀n=0.7652cos( _ 0.392699)由上面的推倒可以看出，发生了混叠，这里的混叠跟 Eg1 中的有一定的区别，这里由 于相位不同的原因，cos（2兀+ ）,cos（2兀3 +）在米样点处的值，并不相同，但是通4442过观察可以发现图6中的第二副图可以发现，其采样点已经具有了蓝色信号所示的低频频率 特性了，并且在心得体会“信号相位的几点理解”中已经证明，任何两个同频cos型的波形， 其和仍为该频率下的cos型波形，只不过幅值和相位会发生相应
10、的变化。最后的第四幅图验证了上面公式推导结果的正确性，也说明了混叠的含义是指，高频成 分因为采样而在采样点处表现为低频，并和原来的低频成分进行了相加的混合，使得结果呈 现出低频特性，并且，幅值和相位都发生了响应的变化。cos（2*piix）图6四、收获与总结1、谐波函数的函数值不一定都是负数Eg：当用8Hz的采样频率去采样函数cos（2兀4x）后，会得到如下结果：2 兀 4n、,cos（2兀4nT ） = cos（） = cos（n兀）函数值=1,-1c 811=ejn 兀 + ejn 兀22=cos（ n兀）+ cos（ n兀）2 2ejnejn这里可以看出谐波的函数值，是实数，虚部为0。其
11、函数值取1，-1。2、相位改变对幅度频谱是否有影响，有，怎么影响。假设任一 CT波形：cos(2i ft+Q) = e-j 2 兀力制 + ej(2 兀力制)=e-jOe- j 2 兀 ft + ej ej 2 兀 ft其中I e-旳1= 1，所以相位的改变不改变谐波的幅值，也就是说，连续信号的幅度谱和相位谱是相互独立的相互不影响。不同相位的信号可以有相同的幅度谱，但相位谱一定不同。 不同幅度的信号，可以有相同的相位谱，但振幅谱一定不同。对于DT波形，情况有些变化。我们的DT信号是由CT信号采样后得来的。1cos(2t fnT+O) = cos(2t f n+O)c丁c1 e-jOe-j f
12、+1 ejOe2 c 2j 2兀 fn fc1 e-jOe-j 计 +1 ejOe2 c 2(i)这里首先研究fc=2 f的情况，这是上式变为:cos(2 兀 fnT + O)c1 ,- j 2 冗 f n2 fc1=cos(2 兀 f f c1 , j 2 冗 f nejO efc21e - j e - j冗 n +e j e j 冗 n2 211_e - jO e - j(2 n冗n 冗)+ _ e jO e jn 冗2 21 e-jOejn冗 + f ejOej冗n = cos Oejn冗2 21111_cos Oe-jn冗+_cosOejn冗(对比_e-jOe-j冗n+_ejOej冗n
13、)2222可以看出现在，两个谐波的幅值受到o的影响，产生这一现象的原因是因为采样和采样频率带来的影响。通过分析上述公式，我们可以看出e-加这个幅值，e-加二cose-sinj其模值始终为1,但是，如果出现e-je+ eje二2cos 的情况，就不能保证谐波的幅值了，上由上图可以看出，当临界采样的时候，相位的变化，影响了采样的结果，进而影响了对 应谐波的幅值。（2）下面研究f 2f的情况，这里采用定量分析的方法，令f二3f 在这种情况cc，下有下面的等式。cos(2 兀 fnT + ) = cos(2 兀 jc1n + e) fc1=2丄-j 2冗f e - j e1n fc+1 ,j 2 冗 f ne j efc21.2 n冗1.2 n冗e-je-j 3+e j ej 322
