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1、第 16 讲 求数列的前 n 项和第课时)神经网络准确记忆!公式法错位相减法 求数列前n项的和 反序相加法裂项相消法分组法重点难点好好把握!考纲要求重点：特殊数列的求和。 难点：特殊数列求和方法的选用。注意紧扣！命题预测1.等差等比数列的求和；2.能转化为等差等比的数列求和；3.特殊数列的求和。仅供参考！1.等差等比数列的求和；2.能转化为等差等比的数列求和；3.特殊数列的求和。考点热点一定掌握！2.求和的方法 公式法 常用的求和公式如下：=n(a + a ) = na + n(n - 1)d21nna1(q = 1)a/1 _ qn)=1 - q11+2+n= 2 n(n+1)12+22+n
2、2= n(n+1)(2n+1)612(q = 0 或 q 丰 1)113+23+n3=(l+2+n)2= 4 n2(n+1)2注意：公式中的q如果不能确定是不是1,则要对q进行讨论；在不需要写解答过程的选 择题、填空题中，公式可以直接使用，否则必须先证明再使用。错位相减法原数列乘上一数再与原数列相加减，这就是推导等比数列求和公式时所用的方法。1 2 3 n例.证明数列-，了，,，笋 的前n的和小于2。2 4 82 n分析：此数列既不等差又不等比，怎么求和？显然关键在于求出前n项的和的表达式。 注意到分母可以构成一个公比为2的等比数列，分子可以构成一个自然数列，回忆等比数列 的求和公式的推导过程
3、有助于我们解决这一问题。推导过程的主要部分是：把原数列的每一项乘上一个数(公比q )得到一个新数列，使原数 列的前n项和与新数列的前n项和的差较易根据项数n计算出来。实际上这种方法具有一般性， 它可以解决很多的数列求和问题。综上所述，我们把题给数列乘上一个什么数才合适呢？- 2 3 n-观察S +丁 +石，发现将其两边乘上三较好：n 2 4 82 n2- 2 3 nS +.+2 n 4 8 -62 n+- - - - n- S - S + +-+亍)-的前n项正好是一个公比为的等比n 2 n 2 4 8 -62 n2 n+-2-n数列，其和不难求出，则S可以求出，要证明S 2, n g N )
4、； n nn+11 1 1a =, a nn( n + 1)n n + 1n(2n)2n+11-(- n(n + 2)2 n1 + 丄(),(2n 1)(2n + 1)2 2n 1 2n + 11 -1 = ;(2n 1)(2n +1)(2n + 3)4 (2n 1)(2n +1) (2n 1)(2n + 3)-1亠-。n(n1)(n+ 2) 2 n(n+1) (n+1)(n+ 2) 分组法当一个数列既不是等差也不是等比数列，但是可以将其和分成几组，使每一组可用等差、等 比或是常见数列求和，那么就可以分别求和再合并。例.求数列(a 1), (a2 2), (a3 3), 前n项的和。a(1an
5、) n(1+ n)解: S (a + a2 + a3 + an) - (1 + 2 + 3 + n)-n1 a2点评：本题分组后,一组为等差数列求和,一组为等比数列求和。例.求数列4，44，444,前n项的和。4解：丁此数列的通项为 (10n -1),9444. S a + a + + a (101 -1) +(102 -1) + + (10n -1)n 1 2 n 99949 (10 0 + (102 1) + (103 1) + (10 n 1)-n (10 n+1 -10 - 9n)814(10 +102 + 103 + 10n) - n 410(10 - D99 10 1.点评：本题分
6、组后，10n是等比数列。能力测试_认真完成！，求这个数列的前n1.已知数列a 通项公式为a =102n，求I a, I + I a2 I + I a nn122. 一个数列a 当n为奇数时，a = 5n +1 , n为偶数时，a = nnn项的和。3.求数列 1,3a, 5a2,7a3,.，（2n -1） an一1， 的前n项的和。4.求1 + 3 + 5 + 7 +至无限项之和。2486.求下列数列的前n项的和:1 1 11 5 5 9 (4n 3)(4n +1)1 1 1?1 3 5 3 5 7 5 7 9111(2) , ,，22 1 42 1 62 1(4) 7, 77, 777, ，
7、777。Vn个71X 3 +-y3的前n项的和。7.求下列数列的前n项的和：11求数列X + X2 +-y y 2求1丄+ 4- + 7- + 10丄+至10项的和。24816 12 ，32 ，52 ， 。参考答案仔细核对!DS 221-3求数列的前n项和的方法123 4 567错位相减法 反序相加法法 分组求和法1.已知数列a 通项公式为a =102n，求I a, I + I a2 I + I a I。nn12n解：设 S =I a1I +I a2I + +I a I，n 12n由 a =102n三0 可得 nW5,当 nW5 时，S =n2+9n，当 n5 时，S =n29n+40, nn
8、n一 n2 + 9n 1 n 52. 一个数列a 当n为奇数时, 项的和。a = 5n +1 ，nn为偶数时，a = 22，求这个数列的前nn2k+1 - a2k-1 = 5(2k + 1)+ 1 一 5(2k 一 1)+ 1 = 102k+2亠=2，a2 k2k 2 2奇数项构成首项为6,列，当 n 为偶数，即 n = 2 m公差为10的等差数列，偶数项构成首项为2，公比为2的等比数时，即 n = 2 m + 1 时， S2m+1S= (a + a + + a) + (a + a + + a 2m132 m-V242mm2(1 一 2 m )=6 + 5(2m 1) +1 +2 1一 2=
9、5m 2 + m + 2m+1 一 2=(a + a + + a) + (a + a + + a 132m+1242mm2(1 一 2 m )=6 + 5(2m +1) +1 +2 1一2=5m2 +11m+2m+1 +4点评：注意分情况讨论。如果用直接用n来表示S，当为偶数时，无问题，但当n为奇数 n时，就比较麻烦了。3.求数列 1,3a, 5a2,7a3,.，（2n -1） an-1, 的前n项的和。解: S 一 a S = 1 + 3a + 5a2 + 7a3 + (2n -1) an1nna+3a2 +5a3+(2n-3)an2 +(2n-1)an11+a2an=1 + 2a + 2a2 + 2a3 + + 2an1 =当a丰1时，S = 1 a 一加；当a = 1n(1 a) 2 点评：本题使用错位相减法。 解题错误：未对a进行讨论。3574.求1 + + 至无限项之和。248357解：设 S = 1 + + 248时，Sn，则35S -二 1 +1 +1 + 1 + 1 + 2 2 4 8S1=+ + + + .2 4 8 161 - (1) n1-22 二1iimnT8S = 6。 点评：本题使用错位相减法。 解题错误：只求了前n项的和。 56求下列数列的前n项的和：1 1 1, , ，1 5 5 9 (4n 3)(4n +1)111,
