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1、【基础检测】1.若向量a的起点坐标为(3,1),终点坐标 为(-1,- 3),则向量a的坐标为()A. (3,1)B. (-1,-3)C. (-4,-4)D. (4,4)5.已知=1,2)b=x1),若a+乃与2a-b共线，则实数x的值 .若a+2b与2ab垂直，则实数 .2.已知点 M(3, 2), N(-5, -1)，点 P1满足MP = 2MN，则点P的坐标是()33A. (-1,-2 B. (1, 2)33C. (2, 1)d. (-2, -1)3.已知a=(4,5, b=(8, y),且 all b, 则y等于()32A. 5 B. 10 C. D. 1554.若a卩是一组基底，向量
2、=xy$x, y R),则称X y)为向量Y在基底a卩下的坐标, 现已知向量a在基底p=(1,-1), q=(2,1下的 坐标为一2,2,贝归在另一组基底n=(-1,1) n =(1,2下的坐标.第28讲平面向量的基本定理和向量的坐标运算【学习目标】(1) 了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；(2) 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件.【知识要点】1. 平面向量的基本定理.(1) 如果e1和Q是- -个平面内的两个不平行的向量，那么对于该平面内的任一向量，存 的一对实数恥爲使a= Zie1 +决2.我们把不共线向量
3、1、Q叫做向量a关于基底的分解.平面向量基本定量是向量正交分解的依据，是向量坐标运 算的基础，理解了该定理就能很好地掌握平面向量的各种知识.(2) 向量的正交分解.如果基底的两个基向量e,、e,互相垂直，则称这个基底为，在正交基底下分解向量，叫做正交分解事实上向量的正交分解就是把一个向量分解为两个互相垂直的向量.2. 向量的坐标表示如图所示，在平面直角坐标系内，分别取与(轴，y 轴方向相同的两个单位向量、j作为基底，对于平面上任 一向量a,由平面向量基本定理可知有且只有一对实数, y2),贝Ua/b? *y21x2=0.(2) 设a=(X1, y1), b=(x2, y2),则ab? X1x2
4、+y1y2=0.二、向量平行和垂直的条件及应用例2如图，AB=(6,1), BtA(x, y), CD=(-2,-3).(1)若BC/DA,求x, y之间的关系；一、向量的坐标表示及运算_例 1 已知点0(0,0、A(1,2) B(4,5) OP=oA+tAB，试 问：(1) t为何值时，点3在x轴？点P在第二象限？(2) 四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相 应的t值；若不能，说明理由.三、平面向量基本定理及应用1 1例 3 在OAB中, OC=40A OD=2B，AD与BC交于点M,设OA=a, OB=b.(1) 用 a、b 表示OM;(2) 已知在线段AC上取一点E,在线段BD
5、上取一点 F,使 EF 过 M 点,设OE=pOA OF=qOB四、与向量相关的创新综合问题例4若定义向量v关于向量u的函数为v=f(u),其对应 法则是：向量u=(x, y),则向量v=(y2y-x).(1) 设a=(1,1, b=(1,0,求向量f(a)与f(b)的坐标；(2) 求f(c)=(p, q)(p q为常数)的向量c的坐标；(3) 证明：对任意向量、b及常数m、n,恒有f(ma+nb) =m(a)+nl(b)成立.求证：7p+話1.备选题例5设A1, A2, A3, A4, A5是平面坐 标系中给定的5个不同的点则使叭+晦+叭+ MA+MA5=0成立的点M的个数为 )A. 0B.
6、 1C. 5 D. 10(2011天津)已知直角梯形ABCD中，AD/BC,/ADC=90AD=2, BC=1, P是腰DC上的动点，则|PA3PB|的最小值为1若向量a=(1,1) b=(-1,1) e(4,2)则(:= ()A. 3a+bB. 3abC. a+3bD. a+3b2.已知向量a=(1,1) b=(2, x),若a+b与4b-2a平行，则实数的值是)A.-2B. 0C. 1D. 24.已知 a=( 3,2), b=(-1,0),向量:a+b与 a-2b垂直，则实数入的值为.3.已知向量 a= (1,- m), b= (m, m)，则 向量a+ b所对应的点的轨迹可能为()A .
7、 x轴B.第一、三象限平分线C. y轴D 第二、四象限平分线6.已知向量OA=(k,12, OB=(4,5, OC=( k,10),且A B C三点共线，则k=.5.已知向量a=(1,2), b=(x,1), u=a+2b, v=2a-b, 且 u / v，贝U x=.8. (1)如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的 直线分别交直线AB, AC于不同的两点M, N, 若AB=mAMl, AC= nANl,求 m+n 的值；7. 平面内给定三个向量a=(3,2), b=(-1,2), c= (4,1,回答下列问题：(1) 求满足a=mb+ nc的实数m, n;(2) 若(a+kc) /
8、(2b-a)，求实数k；(3) 若 d 满足(dc)/(a+b)，且 |dc|= 5,求 d.(2)如图，平面内有三个向量A OB OC其中OA与OB 的夹角为120 OA与OC的夹角为30且|OA|= |OB|=1, |OC |=2 3,若OC=QA+QB(入 氏R)，求 卄卩的值.第28讲平面向量的基本定理和向量的坐标运算【学习目标】【基础检测】【知识要点】1.平面向量的基本定理.(1) 了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；(2) 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件.1.若向量a的起点坐标为(3,1),终点坐标
9、 为(-1,- 3),则向量a的坐标为()A . (3,1)B. (- 1,- 3)C. (-4,- 4)D. (4,4)(1) 如果e1和e2是一个平面内的两个不平行的向量，那么对于该平面内的任一向量a,存在的一对实数入、瓦使【解析】a= (- 1-3,-31)=(4, 4), 故选C.2已知点 M(3, 2), N( 5,- 1),点 P 满足MP=1MN，则点p的坐标是()33A ( 1 , 2)B (1 , 2)33C. (, 1)D . ( ， 1)【解析】 设点P(x, y)，由MP = 2 mn得1(x 3 , y + 2) = 2( 8,1),a= 1e1 +力e2.我们把不共
10、线向量e1、e2叫做向量a关于基底 &, e2的分解.平面向量基本定量是向量正交分解的依据，是向量坐标运 算的基础，理解了该定理就能很好地掌握平面向量的各种知识.(2) 向量的正交分解.如果基底的两个基向量&、e2互相垂直，则称这个基底 为，在正交基底下分解向量，叫做正交分解事实上向量的正交分解就是把一个向量分解为两个互相垂直的向 量.x 3 = 4 从而、1jy+2 = 2x = 1，求得3 ，故选A.ly= 22.向量的坐标表示如图所示，在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面上任一向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 X、3. 已知
11、 a= (4,5), b= (8, y),且 a/b, 则y等于()32A. 5 B. 10 C. D. 1554.若a卩是一组基底，向Yxa+ygx, y R),则称x, y)为向量丫在基底a卩下的坐标, 现已知向量 在基底p=(1,-1), q=(2,1下的 坐标为一2,2,则a在另一组基底=(1,1,n =(1,2下的坐标.5已知a=(1,2) b=(x,1),若a+2b与2a-b共线，则实数x的值 .若a+2b与2a-b垂直，则实数=.【解析】va+2b=(1+2x,4),2ab=(2x,3), 又(a+2b)/(2ab)，贝 (1+ 2x)34(2x) = 0, 解得x=；由(a+2
12、b)丄(2ab)，贝 (1+2x)(2x)+12=0,解得 x=7或 x=2.y,使得a= xi +yj.这样，平面内的任一向量a都可由x、y惟一确定，我们把有序数对(x, y)叫做向量a的(直角)坐标， 记作a = (x, y),把a= (x, y)叫做向量的坐标表示，在平面 直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对惟 一表示，同时3. 向量的坐标运算(1) 若a=(X1,旳，b=(X2, %),贝 H a+b=.即两个向量的和的坐标，于这两个向量相应坐标的和.(2) 若a=(X1,旳，b=(x2, y2).贝 H ab=.即两个向量的差的坐标，于这两个向量相应坐标的差.(3) 若A
13、(为，y1), B(x2, y，则AB二.即一个向量的坐标，等于表示此向量的有向线段的终点 坐标减去始点坐标.(4) 若a=(X1, yi), ?R,则;a=.即向量数乘积的坐标，等于数乘以向量的相应坐标.4. 两向量平行和垂直的坐标表示(1设a=(x1, yi), b=(x2,也)，贝Ua/b?为y2y1X2=0.(2设a=(x1, yi), b=(x2,比)，贝Ua丄b?心2+丫1也=0.一、向量的坐标表示及运算_例 1 已知点0(0,0、A(1,2、B(4,5) OP=OA+tAB,试 问：(1) 为何值时，点0在X轴？点P在第二象限？(2) 四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相 应的t值；若不能，说明理由.二、向量平行和垂直的条件及应用例 2如图，AB=(6,1), BC=(x,
