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1、 教科书资源的开发与利用之选修4-1 从近几年选考4-1的试卷来看，本节是重点，通常以圆为载体考查四点共圆、相交弦定理、切割线定理、与圆有关的比例线段以及相似三角形有关性质等，题型为填空题，难度为中低档题。一“四定理”相交弦定理、割线定理，切割线定理、切线 长定理的应用 由于“四定理”与圆有关，且其结论是线段的关系，因而在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常结合三角形及其相似知识来证明线段相等或等比例线段问题。如本册课本第二讲第五节与圆有关的比例线段中的例5的问题1问题2问题3常在直线与圆的位置关系中借助相似三角形与“四定理”得到等比例线段及四点共圆。ABOP图1变式1：如图1,过点P的
2、直线与圆O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则圆O的半径等于_. 解: 设交圆O于C,D,如图,设圆的半径为R,由割线定理知 点评: 本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知,从而求得圆的半径. 变式2：如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.(1)求证：FBFC；(2)求证：FB2FAFD；(3)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120，BC6cm，求AD的长解(1)AD平分EAC，EADDAC. 四边形AFBC内接于圆，DACFBC. EADFABFCB，FBCFCB，FBFC. (2)F
3、ABFCBFBC，AFBBFD， FBAFDB.，FB2FAFD. (3)AB是圆的直径， ACB90. EAC120，DACEAC60，BAC60.D30. BC 6， AC2. AD2AC4cm.二与圆有关的比例线段及相似三角形有关性质的应用有关相似三角形的判定与性质一般不单独考查。高考中一般结合圆的有关知识应用相似三角形的判定与性质解决比例线段问题。在探求比例线段时，要注意其结构特征，找共性，辨差异，寻联系，定思路，再结合平面图形的有关性质逐步转化。如本册课本第二讲第五节与圆有关的比例线段中的例2变式1：如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E （I）证明： （II）若的面积，求的
4、大小。解：所以ABEADC（II）因为ABEADC 点评：本题考查了几何证明，相似三角形判定和性质，圆周角定理，考查了三角形的 面积公式等。变式2. 如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点，证明：（）=.（）=.解：（）因为,所以. 又因为与圆相切于点，故 所以. （）因为, 所以,故. 即 . 点评：本题主要考查了圆的切线、等弧所对的圆心角相等等知识.熟练利用等弧所对的圆心角相等，判断出三角形相似，然后证明问题。变式3：在ABC中，已知CM是ACB的平分线，AMC的外接圆交BC于点N.若ACAB， 求证：BN2AM 证明：如图，在ABC中，因为CM是ACB的平分线，所以
5、. 又已知ACAB， 所以. 又因为BA与BC是圆O过同一点B的切割线，所以BMBABNBC，即. 故由可知，所以BN2AM.三四点共圆的判断及应用 四点共圆的主要判断及应用方法有以下四种 ：（1） 如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆。（2） 如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。（3） 如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.（4） 如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆如本册课本第二讲第二节圆内接四边形的性质与判定定理的例2中探索了四点共圆的判断，下面我们探索其应用：变式1：如图，AB是
6、半圆的直径，点C、D在弧AB上，且AD平分CAB，已知AB10，AC6，则AD等于(） A8 B10 C2 D4解：如图，AB是O的直径，CD90，又AC6，AB10，BC8，cosBAC，又AD平分BAC，BADBAC， 2cos2BAD1cosBAC， cosBAD，又在RtADB中，ADABcosBAD104.故选D变式2：如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BEAC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PCED1，PA2.则AC的长_. 解：PA2PCPD，PA2，PC1，PD4，又PCED1，CE2，PACCBA，PCACAB，PACCBA，AC2PCAB2，AC.变式3：如图,是圆的直径,为圆上位于异侧的两点,连结并延长至点,使,连结. 求证:.证明:连接. 是圆的直径, 又,是线段的中垂线 又为圆上位于异侧的两点, 点评：圆周角定理,线段垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质. 变式4如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为 解：由题意可知相似，所以,由及已知条件可得, 又, 点评：考查三角形的相似性质的应用。利用相似三角形的性质进行转化.
