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1、因式分解之四大基本解法知识锦囊知识梳理示例1.提取公因式公因式：多项式中各项都含有的因式.abc - ab+a 2b2 - ab = ab(c - a 2 + ab -1)确定公因式的方法：ma - mb+mc = m(a b + c)系数：取多项式各项系数的最大公约数；字母：取各项都含有的字母的最低次幕.2.公式法：兀全平方公式：a2 土2ab +b2 = （a 土 b）利用乘法公式把某些多项式写成因式积的形式平方差公式：a2 - b2 = (a + b)(a - b)3.分组分解法：二二分法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分a2 + a - b2+b解，分组有两个目的，一是分组后能出
2、现公因 式，二是分组后能应用公式.=a2 - b2 + a + b=(a + b)(a - b) + (a + b)=(a + b)(a - b +1)三一分法：对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法x 2 - 2 xy + y 2 - 9=(x + y)2 - 32=(x + y + 3)(x + y - 3)4.十字相乘法：x 2 + 5 x 一 6 = (x + 6)(x 一 1)借助画十字交叉线分解系数，将二次三项式进x6行因式分解，口诀“拆首尾，凑中间”.A1x一 1常见有两种形式：x2 + (p + q)x + pq型因式分解3x2 10x 8 = (3x
3、+ 2)(x 4)ax2 + bx + c（a丰0）型因式分解3x2Vx八一 4经典例题必会考点 1】提取公因式1. 因式分解：8x2y2 一 10xy -12【解答】解：原式=2(4x2y分解因式：m2 -(2m + 3)2. -5xy-6) = 2(4xy + 3)(xy -2).2 .因式分解：-4m3 + 8m2 - 24m .【解答】解：-4m3 + 8m2 - 24m = -4m(m2 - 2m + 6).3 .因式分解:5(x- y)【解答】解：原式=(m + 2m + 3)(m 一 2m 一 3) = (3m + 3)(-m 一 3) = -3(m + 1)(m + 3). +
4、10(y - x)2.【解答】解：5(x- y)3 +10(y -x)2 = 5(x- y)3 +10(x- y)2 = 5(x- y)2(x- y) + 2=5(x - y)2(x - y + 2).4因式分解： 3a(x- y)-3b(y-x)【解答】解：3a(x 一 y) 一 3b(y 一 x) = 3a(x 一 y) + 3b(x 一 y) = 3(x 一 y)(a + b).必会考点 2】公式法1因式分解：(1) 16x2 -9y2(2) (x2 + y2)2 -4x2y2.【解答】解：(1)原式=(4x)2 -(3y)2 = (4x + 3y)(4x-3y)；(2) 原式=(x2
5、+ y2 + 2xy)(x2 + y2 -2xy) = (x + y)2(x- y)2.3 .因式分解:(x- y)2 + 6(y - x) + 9【解答】解: (x- y)2 + 6(y -x) + 9 = (x- y)2 - 6(x- y) + 9 = (x- y -3)2.必会考点 3】提取公因式与公式法综合1. 因式分解:(1) x-xy2 ；(2) 9x3 -18x2 + 9x ；【解答】解：(1) x-xy因式分解： b2 - 2bc + c2 -1解答】解： b2 -2bc+c2 -1 =(b-c)2 -1 = (b-c+1)(b-c-1). = x(1-y2) = x(l+ y
6、)(1- y)；(2) 9x3 -18x2 + 9x = 9x(x2 - 2x +1) = 9x(x-1)2 ；2. 因式分解:(1) am2 -4am+4a；(2) a2(x- y)+b2(y-x).【解答】解:( 1) am2 - 4am + 2a = a(m2 - 4m + 4) = a(m - 2)2 ；(2) a2(x-y)+b2(y-x)=(x-y)(a2-b2)=(x-y)(a+b)(a-b).必会考点 3】分组分解法1. 因式分解：m2 - my + mx - yx【解答】解： (3) m2 - my + mx - yx =(m2-my)+(mx-yx)= m(m - y) +
7、 x(m - y ) = (m - y)(m + x) .必会考点 4】十字相乘法1因式分解：2) a2 - 3ab - 4b2(1) x 2 + 5 x - 6【解答】解：(1) x2 + 5x-6 = (x l)(x + 6)(2) a2 -3ab-4b2 = (a-4b)(a + b)2.分解因式：2x2 - 3x +1【解答】解：2x2 -3x +1 = (x 1)(2x 1).巩固练习1因式分解：(1) 2m(a - b) - 3n(b - a)；2分解因式：(1) x(x - a) + y(a - x)3. 因式分解：a5b3c2 + 5a4b2c-7a3bc4. 分解因式：(m2
8、 + 4)2 - 16m2.5. 分解因式(1) (a 2 +1)2 一 4a 22) 8x2 - 2(x - y)2 .(2) x3y 一 10x2y + 25xy(2) 9(a + b)2 一 25(a 一b)2.6 .因式分解：2x2 一 4xy + 3x 一 6y7.因式分解：1 - a 2 + 4ab - 4b 28分解因式(1) 4x2 - 9y2(2) x2 一 y2 + 2y 一 19.分解因式：x2y2 一x2 + y2 一 1.10.分解因式 2 x 2 一 x 一 6 x3 3x + 211.分解因式：X2 - 2xy -8y2.12.十字相乘法因式分解(1) x2 +
9、5x + 6(2) x2 5x 6(3) 2x2 3x +113因式分解：(1) a2b - b3 ；(2) 1 -n + m-mn ；(3) x2 一2x +1 一 y2 ；( 4)(x 一 y)2 + (x + y)(x 一 y)14 把下列各式分解因式：(1) x2-25；( 2)a2 - 8a +16 ；(3) x2(x + y)一9(x + y)；15 因式分解：(1) 3x2 一 6xy + x ；(4) -a3 + 2a2b -ab2.(2) -4m3 + 16m2 -28m ；3) 18(a-b)2 -12(b-a)3 巩固练习解析1因式分解：(1) 2m(a - b) - 3
10、n(b - a)；(2) 8x2 -2(x- y)2 .【解答】解：(1) 2m(a-b)-3n(b-a)=2m(a - b) + 3n(a - b)=(a - b)(2m + 3n)；(2) 8x2 - 2(x - y)2=24x2-(x-y)2=2(3x - y)(x + y).2. (1)分解因式x(x-a) + y(a-x)(2) 分解因式x3y-10x2y + 25xy【解答(1)解：x(x - a) + y(a - x)= x ( x - a ) - y ( x - a )=( x-a )( x-y )；(2) 解：x3y一 10x2y + 25xy=xy( x2 一 10x +
11、25)= xy( x - 5)2 3. 因式分解：a5b3c2 + 5a4b2c-7a3bc【解答】解：原式=a3bc(a 2b2 c + 5ab - 7)；4. 分解因式：(m2 + 4)2 - 16m2.【解答】解：(m2 + 4)2 - 16m2=(m2 + 4 + 4m)(m2 + 4 - 4m)=(m + 2)2 (m - 2)2.5分解因式(1) (a 2 +1)2 - 4a 2(2) 9(a + b)2 - 25(a -b)2.【解答】解：(1) (a2 +1)2 -4a2=(a 2 +1 + 2a)(a 2 +1 - 2a)=(a +1)2 (a -1)2 ；(2) 9(a +
12、 b)2 - 25(a -b)=3(a + b) - 5(a - b)3(a + b)+ 5(a - b)= .4(4 a - b)(4b - a) 6因式分解： 2x2 -4xy +3x -6y【解答】解：原式= 2x(x-2y)+3(x-2y)= (x -2y)(2x +3) 71-a2 + 4ab-4b2【解答】解： 1- a2 + 4ab- 4b2=1-(a2 -4ab+4b2)=1-(a-2b)2= (1 + a - 2b)(1- a + 2b) 8分解因式( 1 ) 4 x 2 - 9 y 2(2) x2 - y2 +2y -1【解答】解：(1)原式= (2x-3y)(2x +3y
13、)(2)原式= x2 -(y2 -2y +1)= x 2 - ( y - 1)2=(x+ y -1)(x - y+1)9. 分解因式：X2y2 - x2 + y2 -1.【解答】解：原式=x2(y2 -1) + y2 -1 = (y2 - 1)(x2 +1) = (y + l)(y - 1)(x2 +1).10. 分解因式 2 x 2 - x - 6 x3 3x + 2【解答】解：2x2 -x-6 = (2x + 3)(x-2)； x3 3x + 2=x3 一 4x + x + 2=x( x + 2)( x 2) + (x + 2)=(x + 2)(x2 - 2x +1)=(x + 2)(x 1)2.11. 分解因式： x2 -2xy -8y2.【解答】解： x2 -2xy-8y2=(x - 4y)(x + 2y).12. 十字相乘法因式分解：(1) x2 + 5x + 6( 2 ) x 2 - 5 x - 6(3) 2x2-3x +1(4) 6x2 + 5x一6 .【解答】解：(1)原式=(x + 2)(x + 3)；(2) 原式=(x 6)( x +1)；(3) 原式=(2x 1)(x 1)；(4) 原式=(2x + 3)(3x-2).13. 因式分解：( 1 ) a2b - b3 ；(2) 1 -n + m-mn ；(3) x2
