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1、第4讲 二次函数与幂函数1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()AB1C D2解析：选C因为函数f(x)kx是幂函数，所以k1，又函数f(x)的图象过点，所以，解得，则k.2已知函数f(x)x2(a1)xab，若不等式f(x)0的解集为x|1x4，则a2b的值为()A2 B3C3 D2解析：选A依题意，1，4为方程x2(a1)xab0的两根，所以解得所以a2b的值为2，故选A3已知函数f(x)2x2bx，若对任意的实数t都有f(4t)f(4t)，则f(2)，f(4)，f(5)的大小关系为()Af(5)f(2)f(4)Bf(4)f(5)f(2)Cf(4)f(2)f(5)Df(2)f(4)f(
2、5)解析：选B因为对任意的实数t都有f(4t)f(4t)，所以函数f(x)2x2bx的图象关于直线x4对称，所以f(2)f(10)，又函数f(x)2x2bx的图象开口向下，所以函数f(x)在4，)上是减函数，因为45f(5)f(10)，即f(4)f(5)f(2)4(2019南昌一模)已知函数f(x)x2axb的图象过坐标原点，且满足f(x)f(1x)，则函数f(x)在1，3上的值域为()A 0，12 BC D解析：选B因为函数f(x)x2axb的图象过坐标原点，所以f(0)0，所以b0.因为f(x)f(1x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x，所以a1，所以f(x)x2x，所以函数f(x)在
3、上为减函数，在上为增函数，故当x时，函数f(x)取得最小值.又f(1)0，f(3)12，故函数f(x)在1，3上的值域为，故选B5(2019衡阳模拟)若不等式x22x5a23a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A1，4B(，25，)C2，5)D(，14，)解析：选A令f(x)x22x5(x1)24, 则f(x)的最小值为4，若不等式x22x5a23a对任意的实数x恒成立，则a23a4，解得1a4，故选A6已知幂函数f(x)x，若f(a1)0)，易知x(0，)时为减函数，又f(a1)f(102a)，所以解得所以3a5.答案：(3，5)7已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x
4、3，与y轴交于点(0，3)则它的解析式为_解析：由题意知，可设二次函数的解析式为ya(x3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，所以39a，即a.所以y(x3)2x22x3.答案：yx22x38已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_解析：由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.答案：1或39已知函数f(x)ax2bx1(a，b为实数，a0，xR)(1)若函数f(x)的图象过点(2，1)，且方程f(x)0有且只有一个根，求f(x)的表达式；(
5、2)在(1)的条件下，当x1，2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解：(1)因为f(2)1，即4a2b11，所以b2a.因为方程f(x)0有且只有一个根，所以b24a0.所以4a24a0，所以a1，b2.所以f(x)x22x1.(2)g(x)f(x)kxx22x1kxx2(k2)x11.由g(x)的图象知，要满足题意，则2或1，即k6或k0，所以所求实数k的取值范围为(，06，)10已知函数f(x)x2ax3a，若x2，2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围解：要使f(x)0恒成立，则函数在区间2，2上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)f(x)的对称轴为x.(1
6、)当4时，g(a)f(2)73a0，得a，故此时a 不存在；(2)当2，2，即4a4时，g(a)f3a0，得6a2，又4a4，故4a2；(3)当2，即a4时，g(a)f(2)7a0，得a7，又a4，故7a4，综上得7a2.1若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()A0，4 BC D解析：选D.二次函数图象的对称轴为x，且f，f(3)f(0)4，由图得m.2(2019吉林模拟)已知函数f(x)x22ax3在(，1上单调递减，当xa1，1时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为()A B1C D2解析：选B函数f(x)x22ax3的图象的对称轴是xa
7、，因为函数f(x)在(，1上单调递减，所以a1，即a1，且函数f(x)x22ax3在区间a1，1上单调递减，所以f(x)maxf(a1)(a1)22a(a1)33a24a4，f(x)minf(1)2a4，所以g(a)f(a1)f(1)3a22a，a(，1，且函数g(a)的图象的对称轴为a，所以g(a)在(，1上单调递减，所以g(a)ming(1)1，故选B3已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析：根据函数f(x)x2axb0，得到a24b0，又因为关于x的不等式f(x)c，可化为：x2axbc0，它的解集为(m
8、，m6)，设函数g(x)x2axbc的图象与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，则|x2x1|m6m6，从而(x2x1)236，即(x1x2)24x1x236，又因为x1x2bc，x1x2a，a24(bc)a24b4c36，代入a24b0得到c9.答案：94设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0，3上是“关联函数”，则m的取值范围为_解析：由题意知，yf(x)g(x)x25x4m在0，3上有两个不同的零点在同一
9、直角坐标系下作出函数ym与yx25x4(x0，3)的图象如图所示，结合图象可知，当x2，3时，yx25x4，故当m时，函数ym与yx25x4(x0，3)的图象有两个交点答案：5已知函数f(x)x22ax5.若f(x)在区间(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，求实数a的取值范围解：因为f(x)在区间(，2上是减函数，所以a2.又xa1，a1，且(a1)aa1，所以f(x)maxf(1)62a，f(x)minf(a)5a2.因为对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，所以f(x)maxf(x)min4，得1a3.又a2，所以2a3.故实数a的取值范围是2，36已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0，1上恒成立，试求b的取值范围解：(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2.所以F(x)所以F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由题意知f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0，1上恒成立，即bx且bx在(0，1上恒成立又当x(0，1时，x的最小值为0，x的最大值为2.所以2b0.故b的取值范围是2，01
