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1、2018学年高三上期第二次周练数学（理科）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合， ，则A. B. C. D. 2已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 13在等比数列中， ， ，则数列的前9项的和（ ）A. 255 B. 256 C. 511 D. 5124如图所示的阴影部分是由轴，直线以及曲线围成，现向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ）A. B. C. D. 5在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）A. 10 B. 20 C. 30 D. 60
2、6已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( )A. B. C. D. 7已知函数 在 上单调递减，则a的取值范围是( )A. B. C. D. 8执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数的可能取值的集合是（ ） B. D. 9上的偶函数满足，当时， ，则的零点个数为（ ）A. 4 B. 8 C. 5 D. 1010如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 11已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12已知数列 中，=1，且对任意的,都有则
3、（）A B C 2 D第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13已知平面向量，且，则_.14若变量满足，且恒成立，则的最大值为_.15若双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面积等于（其中为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是_16若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知向量.（1）求的最大值及取最大值时的取值集合；（2）在中， 是角的对边,若且，求的周长的取值范围.18如图，已知四棱锥的底面为直角梯形， ， ， ，且， ， 是的中点。（）求证： ；（）求二面角的余弦
4、值。19从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图. （）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过的概率；（）假设该市高一学生的体重服从正态分布.（）估计该高一某个学生体重介于 之间的概率；（）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于之间的人数为，利用（）的结论，求的分布列及.20已知右焦点为的椭圆与直线相交于、两点，且 （1）求椭圆的方程；（2）为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由21. 已知函数.（1）当时，试求函数图像过点的切线方程；（2）若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试求
5、实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求.23.【不等式选讲】已知， .（1）解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案1B 2D 3C 4B 5C 6A，7A 8A 9C 10C 11.D 12.D 13或 14 15 16 17（1）， ， 的最大值为，此时 即 （2） ， , 由得 又, 故，即周长的范围为.18证明：（）以为坐标
6、原点长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为， ， ， ， ， ，则， ，故，所以，由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得,又在平面内,故平面。（）在上取一点，则存在，使，连接， ， ，所以， ， 。要使，只要，即，解得。可知当时， 点坐标为，能使，此时， ， ，所以。由， ， ，所以，故所求二面角的余弦值为。19（）这400名学生中，体重超过的频率为，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过的概率为.（）（）， ，.（）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，其中体重介于之间的人数， ， .所以的分布列为.20（1）设，则，即，即
7、，由得，又， 椭圆的方程为（2）设直线方程为：，由得，为重心，点在椭圆上，故有，可得，而，点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到）， 当直线斜率不存在时，的面积为定值21.【解析】（1）当时，有.，过点的切线方程为：，即.（2）的定义域为：.令. 又函数有两个极值点，有两个不等实数根，且，从而.由不等式恒成立恒成立，令，当时恒成立，函数在上单调递减，故实数的取值范围是：.22.（1）曲线的普通方程为，则的极坐标方程为，由于直线过原点，且倾斜角为，故其极坐标为（或）（2）由得：，故，.23(1) 解集为或；(2) .（1）当时， 解得.当时， 无解， 当时， 解得.的解集为或.（2）由已知恒成立. 恒成立.又 . ，解得.时，不等式恒成立
