《适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用高考解答题专项一第2课时利用导数研究不等式恒能成立问题课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用高考解答题专项一第2课时利用导数研究不等式恒能成立问题课件（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第2 2课时利用导数研究不等式恒课时利用导数研究不等式恒(能能)成立问题成立问题高高 考考解答题解答题专项一专项一考点一考点一不等式恒成立不等式恒成立问题考向1.“分离参数法”解决不等式恒成立问题 例1.(2023山东烟台二模)已知函数f(x)=.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x1时,f(x)+k(1+ln x)0,求实数k的取值范围.令f(x)0,得0 x2,则f(x)在(0,2)内为增函数;令f(x)0,得x2,则f(x)在(-,0)和(2,+)上为减函数.综上,f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-,0)和(2,+).(2)(方法1)当x1时,1+ln x0,设h
2、(x)=-x-2xln x+x2+x2ln x,则h(x)=(x-1)(3+2ln x).当x1时,恒有3+2ln x0,即h(x)0,所以h(x)在(1,+)上单调递增,所以h(x)h(1)=0恒成立,即g(x)0,所以g(x)在(1,+)上单调递增.方法点拨“分离参数法”解决不等式恒成立问题“分离参数求最值”是解决不等式恒成立求参数的取值范围问题的基本方法,其基本过程如下:(1)已知含参数的不等式f(x)0恒成立;(2)将不等式转化为g()h(x),即将参数与变量x分离,可以将单独分离到不等式一边,也可以将只含有的一个代数式分离到不等式的一边;(3)求函数h(x)的最值或值域.求h(x)最
3、大值或值域的方法要依据函数h(x)的形式而确定,可以用导数法、均值不等式法、换元法、单调性法等等;(4)得出结论.若h(x)的最大值为M,则g()M;若h(x)不存在最大值,其值域为(m,M)时,g()M.对点训练1已知函数f(x)=-ln x+2x-2.(1)求与函数f(x)的图象相切且斜率为1的直线方程;(2)若g(x)=f(x)+ax+2,当x1,e时,g(x)0恒成立,求实数a的取值范围.解由已知得f(x)=2-(x0).(1)因为直线的斜率为1且与函数f(x)的图象相切,所以由f(x)=1,即2-=1,解得x=1,而f(1)=0,所以切点为(1,0),故直线方程为x-y-1=0.考向
4、2.“最值法”解决不等式恒成立问题例2.已知定义在(0,+)上的函数f(x)=(x-1)ex-.(1)若a=e,讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)3在区间(0,2上恒成立,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=xex-ax=x(ex-a),当a=e时,f(x)=x(ex-e).当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+).(2)函数f(x)的导数为f(x)=x(ex-a).若a1,则在区间(0,2上,f(x)0,f(x)单调递增,因此f(x)max=f(2)=e2-2a3,不符合题意;若1ae2,令f(x)=0,得
5、x=ln a,当x(0,ln a)时,f(x)0,因此f(x)在区间(0,ln a)内单调递减,在区间(ln a,2上单调递增,又因为f(0)=-10或f(x,a)0的形式,然后从研究函数的性质入手,通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范围.(1)如果f(x,a)有最小值g(a),则f(x,a)0恒成立g(a)0,f(x,a)0恒成立g(a)0;(2)如果f(x,a)有最大值g(a),则f(x,a)0恒成立g(a)0).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若对于任意的x0,有f(x
6、)0,求正数a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=ex-ln x,得f(x)=ex-,切点(1,e),斜率f(1)=e-1,故所求切线方程为y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0.(2)f(x)0,即ex+x-ax-ln(ax)0(a0,x0)ex+xax+ln(ax)(a0,x0)ex+xeln(ax)+ln(ax)(a0,x0).令g(x)=ex+x,显然g(x)是增函数,于是上式可化为g(x)g(ln(ax),即xln(ax)(a0,x0)ln ax-ln x(a0,x0).令(x)=x-ln x(x0),则(x)=1-,易知(x)在(0,1)内单调递减,在(1,
7、+)上单调递增,故(x)min=(1)=1,于是ln a1,可得00时,f(x)0,求实数a的取值范围.令h(x)=ex-x,则h(x)=ex-10,则h(x)在(0,+)上单调递增,所以h(x)h(0)=10恒成立.故由f(x)0得x1,由f(x)0得0 x1,所以f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).所以0g(x)恒成立,求实数a的取值范围.所以直线l1的方程为x-y+1=0,直线l2的方程为x-y-1=0.故所求的直线方程为l1:x-y+1=0,l2:x-y-1=0.(2)f(x)g(x)恒成立,即aex+ln aln(x+1)+1在(-1,+)上恒成立,可等价转
8、化为aex+ln(aex)ln(x+1)+(x+1)在(-1,+)上恒成立.设h(t)=t+ln t,则考向4.“端点效应法”解决不等式恒成立问题(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)+sin x0,f(x)0.综上所述,若f(x)+sin x0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若g(x)=2x2f(x)-xf(x)-3a(a0),且存在实数x1,x21,e2,使得不等式2g(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围.(2)g(x)=2x2f(x)-xf(x)-3a=2ax-axln x-(6a+3)(a0),因为存在实数x1,x21,e2,使得不等式2g(x1)g(x2)
9、成立,所以2g(x)ming(x)max.又因为g(x)=a(1-ln x),a0,所以当x1,e)时,g(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)min=g(e)=ae-6a-3,g(x)max=maxg(1),g(e2)=-6a-3,方法点拨不等式中“任存”问题的求解方法及注意点(1)如果不等式中涉及两个函数,两个变量,且两个变量前面带有逻辑中的“量词”,那么这样的不等式问题均可转化为两个函数的最值之间的大小关系.一般地,已知函数y=f(x),xa,b,y=g(x),xc,d,那么有以下转化方法:若x1a,b,x2c,d,总有f(x1)g(x2)成立,则f(x)maxg(x)min;若x1a
10、,b,x2c,d,有f(x1)g(x2)成立,则f(x)maxg(x)max;若x1a,b,x2c,d,有f(x1)g(x2)成立,则f(x)ming(x)max;若x1a,b,x2c,d,有f(x1)g(x2),则f(x)min0时,f(x)=x2+sin x,g(x)是定义在(0,+)上的函数,且g(x)=ax+-2(a0).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若x1-1,1,x2(0,+),使得f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围.解(1)设x0,所以f(-x)=x2-sin x,又因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-f(-x)=-x2+sin x.又因为f(0)=0,所以(2)由题意得f(x)ming(x)min.当x0,1时,f(x)=2x+cos x0,所以f(x)在区间0,1上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0;当x-1,0)时,f(x)=-2x+cos x0,所以f(x)在区间-1,0)上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=-1-sin 10.因此f(x)在区间-1,1上的最小值为f(-1)=-1-sin 1.
