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1、八年级数学下册导学案（二十八）杨成超八年级数学下册重心导学案【教学目标】：进一步认识规则几何图形的重心就是它的几何中心. 探究不规则几何图形的重心.。【教学重难点】：探索三角形、任意多边形的重心.【自学指导】： 学生看P109-P110注意以下问题： 我们采用了什么样的方法来探究几何图形的重心?我们得到的结论是什么? 不同形状、不同类型的三角形的重心又会有什么不同？它们是否都在三角形内部？ 寻找三角形和任意多边形的重心 质量分布不均又没有特定几何形状的物体重心如何寻找呢？【自学检测】： （1）用一个手指顶住一块均匀的正方形硬纸片,找出平衡点的位置（2）探索这个平衡点与正方形对角线的交点有什么关
2、系,你有什么发现?（3）根据（2）的发现,你能找出矩形、菱形、一般平行四边形的重心在什么位置吗?发现： 【师生共同探究，总结】： 线段的重心是线段的中点. 平行四边形的重心,是它的两条对角线的交点. 分组,然后各种对不同形状的三角形进行研究.1. 在三角形薄板的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点;2. 用下端系有小重物的细线缠绕在一个小钉上,吊起薄板,记下铅垂线的“痕迹”;3. 在另一个小钉上重复(2)的活动,找到两条铅垂线的交点. 寻找三角形和任意多边形的重心 三角形的三条中线交于一点.这一点就是三角形的重心. 如下图所示. 第一组:我们组是找的锐角三角形的重心,它就在三角形内部.（如图a） 第
3、二组:我们的研究的直角三角形,我们发现直角三角形的重心也在三角形内部（如图b） 第三组:我们研究的是钝角三角形,钝角三角形,钝角三角形的重心仍在三角形上,而且在三角形的内部. 对于线段、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形等规则的几何图形,它们的重心就是该图形的几何中心. 对于任何的多边形这些不规则的几何图形,它们的重心就需要采用悬挂法来找. 重心就是重力的作用点，重心及其位置的变化，直接影响重力作用的整体效果。在重力起主要作用的力学过程中，如建筑设计、机械制造等技术领域，对其稳定性、平衡性、转动性等一系列力学问题，关于重心的思考是必不可少，甚至是至关重要的。对于质量分布均匀又有一定的几
4、何形状的物体，它的重心都与其几何中心重合。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 证明：刚才证明三线交一时已证。 6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 下面的
5、几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄板。 三角形的重心就是三边中线的交点。 线段的重心就是线段的中点。 平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。 平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。 圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。 锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。 四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。 重心的影响因素1.物体的形状 2.质量的分布 寻找重心的方法下面是一些寻找形状不规则或质量不均匀物体重心的方法。 a.悬挂法 只适用于
6、薄板（不一定均匀）。首先找一根细绳，在物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的重力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就是物体重心。 b.支撑法 只适用于细棒（不一定均匀）。用一个支点支撑物体，不断变化位置，越稳定的位置，越接近重心。 一种可能的变通方式是用两个支点支撑，然后施加较小的力使两个支点靠近，因为离重心近的支点摩擦力会大，所以物体会随之移动，使另一个支点更接近重心，如此可以找到重心的近似位置。 c.针顶法同样只适用于薄板。用一根细针顶住板子的下面，当板子能够保持平衡，那么针顶的位置接近重心。 与支撑法同理，可用3根细针互相接近的方法，找到重心位置的范围，不过这就没有支撑法的变通方式
7、那样方便了。 d.用铅垂线找重心（任意一图形，质地均匀） 用绳子找其一端点悬挂，后用铅垂线挂在此端点上（描下来）。而后用同样的方法作另一条线。两线交点即其重心。 重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。三角形“五心歌”三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混重 心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心
8、分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好垂 心三角形上作三高，三高必于垂心交高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内 心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然外 心三角形有六元素，三个内角有三边作三边的中垂线，三线相交共一点此点定义为“外心”，用它可作外接圆【提高练习】：1.规则几何图形重心是它的_不规则几何图形的重心可以通过_来找2.用一块均匀的木板做一个翘翘板，支点应放在_.3.用手指顶起一块平行四边形的硬纸板，欲使纸
9、板平衡，则手指应放在_.4. 已知O是菱形的重心，过O作一条直线将非正方形的菱形分成两部分不可能是（ ）.A.平行四边形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.矩形5.三角形的重心是三角形三条（ ）的交点.A中线 B高 C角平分线垂直平分线6.如图，用确定几何重心的方法将图形分成面积相等的两部分.【作业】：1 线段的重心是 2平行四边形的重心是 3三角形的重心是 4等边三角形的重心，也是它的 心； 心； 心 5O为正方形ABCD的重心，EF、GH过O点，且EF垂直于GH，则EF、GH将正方形分成的四部分面积有何关系？ 6任意三角形的重心的位置一定在（ ）A三角形的内部 B三角形的外部 C三角形的某边
10、上 D以上均有可能7（8分）三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的 倍 8（10分）小明作了个三角形的风筝，他想找到风筝的重心，你能帮他找到重心吗？试一试 第8题图9 已知：是的重心求：点G到直角顶点C的距离GC的值 第910设四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，OAB、OBC、OCD、ODA的重心分别为E、F、G、H，则SEFGHSABCD值是多少 第1011下列说法中正确的是（）等边三角形三条高的交点就是它的重心；三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一AB C D 12在ABC中，点G为重心，若BC边上的高为6，则点G到BC边的距离为 13已知ABC三边长分别为5、12、13，CD为中线，那么重心到垂心的距离是多少？第13题图14工人师傅要把一块角钢（如图）分成面积相等的两块，你能帮忙份一下吗？ 第14题图15在 ABC，中线BE与中线CD交于G点，若M为BE的中点,N为CD的中点,求： 第1516如图，你能作出平行四边形的重心吗？对于任给四边形，你能作出它的重心吗？试一试 第16题图
