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1、第第3 3课时综合问题课时综合问题高高 考考解答题解答题专项四专项四考点一考点一翻折翻折问题典例突破例1.已知正三角形ABC的边长为6,点E,D分别是边AB,AC上的点,且满足 (如图1),将ADE沿DE折起到A1DE的位置(如图2),且使A1E与底面BCDE成60角,连接A1B,A1C.(1)求证:平面A1BE平面BCDE;(2)求二面角A1-CD-E的余弦值.由余弦定理可得DE2=AD2+AE2-2ADAEcosDAE=12,AE2+DE2=AD2,则DEAB.折叠后,在题图2中,则DEA1E,DEBE,A1EBE=E,DE平面A1BE.DE平面BCDE,故平面A1BE平面BCDE.(2)
2、解过点A1在平面A1BE内作A1MBE,垂足为点M,平面A1BE平面BCDE,平面A1BE平面BCDE=BE,A1M平面A1BE,A1M平面BCDE,A1E与平面BCDE所成的角为A1EM=60.DE平面A1BE,以点E为坐标原点,EB,ED所在的直线分别为x轴、y轴,垂直ED,BE的直线为z轴建立空间直角坐标系Exyz如图所示,名师点析翻折问题的两个解题策略 对点训练1如图1所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,M为CD的中点,将DAM沿AM折起,使点D到点P处,且平面PAM平面ABCM,如图2所示.(1)求证:PBAM;(2)在棱PB上取点N,使平面AMN平面PAB,求直线AB与平面
3、AMN所成角的正弦值.故在翻折后的四棱锥中,有PQAM,BQAM.又PQBQ=Q,所以AM平面PBQ,又PB平面PBQ,所以PBAM.过点M作MHAN于点H,因为平面AMN平面PAB,平面AMN平面PAB=AN,MH平面AMN,所以MH平面PAB,所以MHPB.考点二考点二与空与空间角有关的探究性角有关的探究性问题典例突破例2.如图1,在等边三角形ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的动点,且满足DEBC,记=.将ADE沿DE翻折到MDE的位置并使得平面MDE平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.(1)当EN平面MBD时,求的值.(2)试探究:随着值的变化,二面角B-MD-
4、E的大小是否改变?如果是,请说明理由;如果不是,请求出二面角B-MD-E的正弦值大小.解(1)取MB的中点为P,连接DP,PN,因为MN=CN,MP=BP,所以NPBC.又DEBC,所以NPDE,即N,E,D,P四点共面.又EN平面BMD,EN平面NEDP,平面NEDP平面MBD=DP,所以ENPD,即四边形NEDP为平行四边形,(2)随着值的变化,二面角B-MD-E的大小不改变.取DE的中点O,由平面MDE平面DECB,且MODE,所以MO平面DECB,建立空间直角坐标系如图所示,方法总结与空间角有关的存在性问题的解题流程 对点训练2 已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方
5、形,PAD是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.(1)求证:PO平面ABCD.(2)求平面EFG与平面ABCD的夹角的大小.(3)线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为?若存在,求线段PM的长度;若不存在,说明理由.(1)证明因为PAD是正三角形,O是AD的中点,所以POAD.又因为CD平面PAD,PO平面PAD,所以POCD.ADCD=D,AD,CD在平面ABCD中,所以PO平面ABCD.(2)解 如图,因为G为BC的中点,所以OGAD.以O点为原点,分别以OA,OG,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则整理得22-3
6、+2=0,0,方程无解,所以在线段PA上不存在点M使得直线GM与平面EFG所成角为考点三考点三最最值、范、范围问题典例突破例3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BFA1B1.(1)证明:BFDE;(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?解四边形AA1B1B为正方形,A1B1BB1.又BFA1B1,BB1BF=B,A1B1平面BB1C1C.又ABA1B1,AB平面BB1C1C.ABBC.又BB1平面ABC,AB,BC,BB1两两互相垂直.以B为原点,BA,BC
7、,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.(2)AB平面BB1C1C,n=(1,0,0)为平面BB1C1C的一个法向量.设平面DFE的法向量为m=(x,y,z),取x=3,则y=1+,z=2-.m=(3,1+,2-)为平面DFE的一个法向量.方法总结求最值、范围问题的常用思路 对点训练3已知RtABC中,B=,AB=4,BC=1,E,F为AB,AC上的动点,且EFBC,将三角形AEF沿EF折起至如图所示,使平面ABC平面BCFE.(1)证明:平面ABC平面ABE;(2)求平面AFC和平面ABE所成的锐二面角的余弦值的取值范围.(1)证明由题意知RtABC中,满足EFBC,所以EFAE,EFBE.又由AE平面ABE,BE平面ABE,AEBE=E,所以EF平面ABE.因为BCEF,所以BC平面ABE.又因为BC平面ABC,所以平面ABC平面ABE.
