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1、第一节任意角、弧度制及三角函数的概念第一节任意角、弧度制及三角函数的概念第五章第五章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.强强基础基础 增增分策略分策略知识梳理1.角的概念的推广(1)角的定义:一条射线绕着它的旋转所成的图形.端点 正角 负角零角象限角(3)终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.角的终边是一条射线,
2、而不是直线 微点拨对终边相同的角的理解:(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等,它们之间相差360的整数倍;(2)若角与的终边关于x轴对称,则=-+2k(kZ);(3)若角与的终边关于y轴对称,则=-+2k(kZ);(4)若角与的终边关于原点对称,则=+2k(kZ).2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示,读作弧度.(2)公式:半径长|r 微点拨有关弧度制的注意点:(1)角度制与弧度制可利用180=rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用;(2)扇形的弧长和面积公式中角的单位必须是弧度;(3)注
3、意扇形圆心角弧度数的取值范围是(0,2),实际问题中注意根据这一范围进行取舍.3.任意角的三角函数 在弧度制下,任意一个实数都表示一个角,角与实数之间一一对应正弦余弦正切定义设是一个任意角,R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)把点P的纵坐标y叫做的正弦函数,记作sin,即y=sin 把点P的横坐标x叫做的余弦函数,记作cos,即x=cos 把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做的正切,记作tan,即 =tan(x0)正弦函数余弦函数正切函数各象限符号+-+-+-微思考如果已知角的终边上的任意一点P(x,y),x0,如何确定角的正弦、余弦、正切?常用结论1.象限角的集合 2.轴线角的集合 3
4、.等分象限法由所在象限判断 所在象限:先将各个象限2等分,从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数字1,2,3,4,直到将所有区域标定完为止(如图).如果在第几象限,则 就在图中标号为几的区域内.4.由所在象限确定角2的终边所在的位置 角所在象限角2的终边所在的位置一第一象限、第二象限、y轴非负半轴二第三象限、第四象限、y轴非正半轴三第一象限、第二象限、y轴非负半轴四第三象限、第四象限、y轴非正半轴6.若角是第一象限角,则sin+cos 1.7.若角的终边上一点P到原点的距离为r,则P点坐标为(rcos,rsin).对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(
5、1)第二象限角一定比第一象限角大.()(3)角的终边与单位圆的交点坐标是(sin,cos).()(4)不存在角,使得sin 0,cos 0,tan 0.()2.若角的终边经过点P(3a,-4a)(a0),则cos=.3.已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,则其圆心角的弧度数为.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一象限角与象限角与终边相同的角相同的角典例突破例1.(1)已知角是第三象限角,则 -是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)(多选)(2023云南丽江一模)与-835终边相同的角有()A.-115B.245C.475D.-475答案 (1)C
6、(2)ABD(2)与-835终边相同的角可表示为-835+360k,kZ,当k=1时,为-475;当k=2时,为-115;当k=3时,为245;当k=4时,为605.故选ABD.方法总结1.象限角的判断方法(1)图象法:在平面直角坐标系中作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法:将已知角化为+2k(kZ,00B.tan 0C.sin 20D.sin(-)0答案 (1)B(2)B 解析(1)因为是第二象限角,所以0sin 1,-1cos 0,故角sin 是第一象限角,cos 是第四象限角,因此sin(cos)0,所以点P(sin(cos),cos(sin)在第二象限.
7、故选B.(2)由于是第二象限角,所以-是第三象限角,因此sin(-)0,cos(-)0,故B选项正确;又2是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴,所以sin 20,故选项C不正确.故选B.易错警示判断三角函数值的符号,关键是确定角所在的象限,然后结合三角函数值在各个象限的符号确定,特别注意:不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况(即轴线角).对点训练4(1)在平面直角坐标系中,角的顶点在原点O,以x轴非负半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m0),则下列各式的值可能大于0的是()A.sin+cos B.sin-cos C.sin cos(2)在ABC中,若sin Acos Btan C0,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定答案 (1)A(2)B 解析(1)由题意,角的顶点在原点O,以x轴非负半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m0),可得sin 0,故sin+cos 符号不定,值可能大于0,故A正确;sin-cos 0,故B错误;sin cos 0,故C错误;0.又因为sin Acos Btan C0,所以cos Btan C0,因此B,C中必有一个是钝角,即ABC是钝角三角形.故选B.
