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1、如何在中学数学例题教学中，培养学生的反思广东惠州市惠东中学 李仕良一、问题的提出荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出；反思是数学思维活动的核心和动力，在数学例题教学活动中引导学生反思，能促使他们从新的角度、多层次、多侧面地对问题的条件、结论、方法等进行全面的考察、分析、与思考，弄清各知识要素在问题中的地位和作用，探究性加以重新整合构造，并进行开放性研究，从而深化对问题的理解，揭示问题本质，探索一般规律，在产生可能的新的结论和方法的同时可以为学生形成积极主动的，多样的学习方式创造有利的条件，从而激发学生数学兴趣，养成独立思考、积极探索的习惯，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，为学生的终身发
2、展奠定基础。二、问题解决的尝试甲乙甲乙甲丙甲丙甲乙甲丙甲乙甲丙甲乙甲丙甲例题1 三个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式有多少种？一般同学解这个问题多用列举法，即把可能出现的传球方式一一列举出来。 解 若第一次传给乙，传球方式可能出现的情况如右图，经过5次传球后，球仍回到甲手中，不同的传球方式有5种；若第一次传给丙，则又有5种；故共有10种不同的传球方式。 此时，学生甲说，若把三个人改为五个人或十个人时，怎样解呢？其他学生也跟着想。若还是用一一列举的方法，岂不是一件很麻烦的事情。学生乙又说，假使传十次、二十次、或n次呢？有没有规律，这个规
3、律 是否能用一个数学式子来表达。下面引导学生用递推法解决这个问题。 设第次将球传给甲的方式有种，传次球共有种不同的传法，这种传法中，有种传法的第次不是传给了甲，而第次没有传给甲时，在第次传球时可传给甲，故第次传给甲的传法。令，则代入上式，并整理得。变形得，是公比为的等比数列，显然，。所以 得。当时，。 让学生进行反思将此问题推广到一般情况： 个人互相传球，（），甲先发球，并作为第一次传球，经过次（）传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法有多少种？ 设第次传给甲的方式有种，由前面分析可知。 令，得，变形得。 是公比为的等比数列。，显然， 所以。得。 于是。 即。当时， 整个教学过程，是教师的激
4、发与学生的探究下完成的，典型的问题的提出，可以提高学生分析问题和解决问题的能力。例题2、设a 、b是两个互不相等的实数求证 |-|a-b| 问题给出以后，一种很自然的证法就油然而生，因为我们在研究任何实际问题总是要进行分析的。证法1、（分析法）要证的不等式等价与（-）2（a-b）2 即要证 1+ab 成立即可。一方面，当1+ab0时，不等式显然成立。另一方面，1+ab0，则所要证不等式成立，就要证（-）2（a-b）2成立,亦证：2aba2+b2 成立，而这恰为其本不等式综上所述，不等式成立，从而证得原不等式成立。接着就有了逆上而行的综合法。（证法2） 当我们与学生共同探讨解决这个问题后，千万不
5、要认为大功告成了。而不作一些反思。这时教师要引导学生思考：大家知道要比较两个实数的大小可以作差或作商，这就得到了两种证法（证法3、4）此题你认为是否还有其他解法呢？问题提出后，果然学生甲从结构形式上得到了启示;由及很自然的视其为两个有一边长为1的直角三角形的斜边，这样便产生了构造直角三角形的平面几何证法。（1） 当|a| |b| 0，以1 |a|为两直角边作RtACB,再以1 |b|为两直角边作RtDCB（显然|b|=0,使两个直角重合）如图 B C D A 则BD= BA= 又AD=AC-DC=|a|-|b|在RtABD中，AB-BDAD而 |a-b|a|-|b|所以|-|a-b| （2）
6、同理可证 当|b|a|0，上式成立。（3） 当|a|=|b|时，又ab，则不等式也成立。综上所述，原不等式得证。（证法5）我对甲的做法给予了肯定。还有吗？学生乙说， 因为与分别可视为点（a，1）与（b，1）到原点的距离，如图所示中有 |OA|OB|AB| 亦即|-|a-b| （证法6） y A B教师说；很好！还有吗？ o x这时，学生丁他说 若设y=则y2-X2=1(y0) 即方程表示等轴双曲线的上支如图3（1）|a|b|,则由双曲线渐近线的几何意义-|a|-|b| 即-|a|-|b|由 ab 得|a-b|b|-|a| |a|-|b|-|a-b|又所以-|-|-|a-b| 即|-|a-b|
7、（2）当|a|b|则有-|a|-|b|所以-|a|-|b|a-b| 从而有-|a-b|成立。（证法7 学生戊 采用的是复数法由及可类比到复数模的形式，不妨设为z1=1+ai，z2=1+bi，1 、a 、b 为互异实数，则椐椐复数三角不等式，|z1|-|z2|z1+z2|z1|+|z2| 有-|a-b| （证法8）学生在老师的指导下，对例题教学进行反思，多角度、多方位、多层次的思考。这样一个其本问题，从中可以悟出数学思维能力的提高非高深莫测，而是原于最常见最重要最其本的数学思想和数学方法。在平时的教学中，我注意要求学生从以下几个方面培养自己的数学反思能力，做到学会学习，学会思考，受到了较好的教学效果。（1）建立自己学习档案给自己建立学习档案，是养成良好的学习习惯的途经。（2）听课反思，没有反思的听课是被动的、肤浅的。从老师讲解中反思问题的方法，学会捕捉引起的问题或提出具有反思性的见解。（3）解题反思，对问题解答后结论正确性的检验或提出疑问；是否还有其他解法，能否把命题推广到一般结论。 如果我们在数学教学中善于挖掘例题的，教会学生反思，教会学生学习，那么我们的教学质量就会提高。参考文献 乔希民 让学生数学思维能力来得更自然 中学数学教学参考2004.5 林伟民 引导学生反思 培养探究能力 数学通报 2005。7 王启才 一个组合问题的解法 中学数学文摘 2006 26
