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1、第二节函数的单调性与最值第二节函数的单调性与最值第三章第三章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读1.理解增函数和减函数的定义,会判断和证明函数的单调性.2.掌握求函数单调区间的基本方法.3.理解函数最值的概念,会求简单函数的最值.4.能够利用函数的单调性解决有关问题.强强基础基础 增增分策略分策略知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义单调性增函数减函数定义当x1x2时,都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数当x1x2时,都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特
2、别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数f(x1)f(x2)设函数f(x)的定义域为D,区间ID,如果x1,x2I单调性 增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的微点拨函数单调性定义的等价形式(2)单调性、单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上或,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的.单调递增单调递减单调区间微思考如何判断复合函数的单调性?提示若构成复合函数的内、外层函数单调性相同,则复合函数为增函数,否则为减函数,简称“同增异减”.2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在
3、实数M满足条件(1)xD,都有;(2)x0D,使得(3)xD,都有;(4)x0D,使得结论M是函数y=f(x)的最大值最大值是所有函数值中最大的一个M是函数y=f(x)的最小值f(x)Mf(x0)=Mf(x)Mf(x0)=M常用结论1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数;若f(x),g(x)分别是区间A上的增函数和减函数,则f(x)-g(x)是区间A上的增函数.2.若k0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k0,则kf(x)与f(x)单调性相反.3.闭区间上的图象连续的函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时,最值一定在端
4、点处取到.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)如果f(-1)0,解得0 x4,所以函数f(x)的定义域为(0,4).令t=4x-x2,则y=log3t,由于y=log3t是定义域(0,+)上的增函数,t=4x-x2在(-,2上单调递增,在(2,+)上单调递减,故函数f(x)的单调递增区间是(0,2,单调递减区间是(2,4).方法总结求函数单调区间的方法及注意点(1)求单调区间的常用方法:定义法;图象法;导数法.(2)求复合函数单调区间的一般步骤:确定函数的定义域;求简单函数的单调区间;依据“同增异减”确定原函数的单调区间.(3)单调区间只能用区间表示,不能用不等
5、式或集合表示,当函数有多个单调区间时,不能用并集符号“”表示.对点训练2(1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数的单调递增区间为()A.(-,-3,0,3B.-3,0,3,+)C.(-,-5),0,1)D.(-1,0,(5,+)(2)(2023海南海口模拟)函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间是()A.(-,-2)B.(-,-2)和(0,2)C.(-2,2)D.(-2,0)和(2,+)答案(1)C(2)B解析(2)f(x)=x2-4|x|+3=当x0时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1的单调递减区间为(0,2);当xcaB.bacC.cbaD.cab答案A技巧点拨利用单调性比
6、较大小的方法步骤(1)确定函数的单调性;(2)比较自变量的大小,若自变量不在同一单调区间内,要利用函数的性质(奇偶性、对称性、周期性)转换为同一个单调区间;(3)由单调性得到函数值的大小关系.对点训练4已知函数f(x)=2-x-4x,若a=0.3-0.25,b=log0.250.3,c=log0.32.5,则()A.f(b)f(a)f(c)B.f(c)f(b)f(a)C.f(c)f(a)f(b)D.f(a)f(b)f(c)答案D考向2.利用单调性解不等式典例突破例5.(2023安徽黄山二模)已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2023x+2023-x,则使不等式f(3x)f(x+1)成立的x
7、的取值范围是()A.(-,-1)(1,+)答案 C解析f(x)的定义域为x|x1.f(-x)=lg(|-x|-1)+2023-x+2023x=f(x),f(x)为偶函数,当x1时,f(x)=lg(x-1)+2023x+2023-x.令t=2023x,名师点析 答案 B对点训练5(2023广西北海一模)已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在0,1上单调递增,在(1,+)上单调递减.若f(2)=0,则f(x)0的解集为()A.-2,2B.(-,-20,2C.-2,02,+)D.(-,-202,+)解析奇函数f(x)的定义域为R,由f(0)=0,f(2)=0且f(x)在0,1上单调递增,在(-
8、,-1)上单调递减,可作出f(x)的大致图象如图所示.由图象可知f(x)0的解集为(-,-20,2.故选B.考向3.根据单调性求参数值(或取值范围)典例突破例6.(1)(2023新高考,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是()A.(-,-2B.-2,0)C.(0,2D.2,+)答案(1)D(2)B解析(1)(方法1导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)ln20在(0,1)内恒成立,即2x-a0在(0,1)内恒成立,即a(2x)max,所以a2.故选D.(方法2复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数突破技巧根据单调性求参数的值或取值范围(1)如果函数解析式已知,欲求参数在区间中,可先求出函数的单调区间,然后由所给区间是相应单调区间的非空子集构建不等式(组)求解参数范围.(2)如果已知分段函数的单调性求参数的取值范围,除了要求每一段均满足相应的单调性外,还必须要求分段点处的函数值满足相应的大小关系.对点训练6(1)若函数f(x)=-x2+4ax在区间1,3上不单调,则实数a的取值范围是.(2)函数f(x)=是单调函数,则实数a的取值范围是.
