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1、第10章 结构的动力分析教学提示：本章讨论结构的动力分析，以前各章讨论的都是结构的静力分析。教学时要注意动与静、动力分析与静力分析之间的联系和区别。一方面，进行动力分析要以静力分析的有关知识作为基础。另一方面，与静力分析相比，动力分析又有许多新特点。例如，荷载、内力、位移都是时间的函数，时间是一个新的自变量；质量、惯性力、阻尼力等都是新出现的重要物理量；频率、振型、特征问题、共振现象等都是新出现的重要概念。学习时应着重掌握这些新内容。本章学习的主要内容有动力分析的特点和动力自由度，单自由度体系的自由振动，单自由度体系的受迫振动，阻尼对振动的影响，多自由度体系的自由振动，多自由度体系主振型的正交
2、性和主振型矩阵，多自由度体系在简谐荷载下的受迫振动，多自由度体系在一般动荷载下的受迫振动，无限自由度体系的自由振动，近似法求自振频率。教学要求：学生要掌握动力分析的基本方法及体系动力自由度数的判别方法；掌握单自由度和两个自由度体系运动方程的建立方法，及其自由振动和在简谐荷载作用下受迫振动的计算方法；了解阻尼的作用；了解多自由度体系在一般动荷载作用下的受迫振动；了解频率的近似计算方法。10.1 动力分析的特点和动力自由度10.1.1 结构动力分析的特点前面各章讨论的是结构的静力分析问题，即结构在静力荷载作用下的内力和位移计算问题；本章讨论结构的动力分析问题，即结构在动力荷载作用下的内力和位移(常
3、称为动力反应)计算问题。 1.动力荷载的特点(1) 静力荷载：荷载(大小、方向、作用位置)不随时间而变化，或随时间极其缓慢地变化(质点被近似视为在常力作用下作匀速运动，适用于惯性定律，即牛顿第二定律)，以致所引起的结构质量的加速度()及其惯性力()可以忽略不计。如活动人群、雪载、吊车荷载以及在梁上砌砖等。(2) 动力荷载(也称干扰力)：荷载(大小、方向、作用位置)随时间明显变化(质点在变力作用下作加速运动)，以致所引起的结构质量的加速度()及其惯性力()不可忽略。如机器的振动荷载、地震作用、爆炸荷载等。(3) 二者的主要区别：是否考虑惯性力的影响。(4) 实际荷载处理：荷载随时间变化快慢是相对
4、的，是相对于结构自振周期而言的。当荷载变化缓慢时，其变化周期远大于结构的自振周期，动力作用很小，为简化计算，将它作为静力荷载处理。当荷载过于激烈时，动力作用比较明显的荷载，惯性力不可忽略，则按动力荷载考虑。 2.动力反应的特点动力反应与结构本身的动力特性有关。因此，在计算动力反应之前，必须先分析结构的自由振动，以确定结构的动力特性。 3.动力分析方法的特点(1) 动力分析要考虑惯性力。(2) 动内力、动位移统称动力反应，动力反应不仅是位置的函数，同时也是时间的函数。(3) 在结构振动时，结构物是不平衡的，根据达朗伯原理，在引进惯性力后，可以建立动力平衡方程，将动力分析的问题转化为静力平衡问题来
5、处理。但这只是一种形式上的平衡，仅仅是利用平衡这一手段列出运动方程。10.1.2 动力荷载的分类根据动力荷载随时间变化的规律以及对结构作用的特点，工程中常见的动力荷载可分为以下几类。 1.周期荷载这类荷载随时间作周期性的变化。周期荷载中最简单也是最重要的一种称为简谐荷载，即荷载随时间t的变化规律可用正弦或余弦函数表示，如图10.1(b)所示。例如具有旋转部件的机器做等速运转时，其偏心质量产生的离心力对结构的影响。具有偏心质量的机器图10.1(a)运转时，传到结构上的偏心力随时间t的变化规律可用或表示。 (a)机器运转 (b)简谐荷载图10.1 周期荷载 2.冲击荷载这类荷载在很短时间内，荷载值
6、急剧增大图10.2(a)或急剧减小图10.2(b)。也就是很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行消失的荷载。各种爆炸荷载属于这一类。再如：打桩机的桩锤对桩的冲击，车轮对轨道接头处的撞击等。 (a)地面爆炸 (b)空中爆炸图10.2 冲击荷载 3.突加荷载当升载时间趋于零时，即以某一恒值突然施加于结构上并在较长时间内基本保持不变的荷载。如：粮袋卸落在仓库的地板上(包括突加、突卸)，起吊重物等。图10.3 突加荷载 4.随机荷载这类荷载的特点是荷载随时间变化的规律很不规则，荷载在任一时间t的数值无法事先确定，要通过记录和统计得到其规律和计算数值。如地震作用的地面运动加速度(图10.4)，以及风
7、力的脉动作用、波浪对码头的拍击、地震对建筑物的激振等。图10.4 随机荷载10.1.3 动力分析的自由度动力分析是以质量的位移作为基本未知量的，其分析也需选取一个合理的计算简图，选取计算简图的原则与静力分析基本相同，但由于要考虑惯性力的作用，需要确定质量在运动过程中的状态。在结构的动力分析中，一个体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目。实际结构的质量都是连续分布的，在分析中常把连续分布的无限自由度问题简化为有限自由度问题。如图10.5(a)所示单位长度的质量为的简支梁，每一微段长度上的质量为图10.5(b)，当梁沿竖向振动时，各个质点的位移都是质点位
8、置x和时间t的函数，是一个无限自由度体系。为了使计算得到简化，应从减少体系的自由度着手，常用的简化方法有三种。1.集中质量法集中质量法是把连续分布的质量(根据静力等效原则)集中为几个质点(质点：没有大小的几何点，但有质量)，这样，就把无限自由度体系简化成了有限自由度体系，从而使计算得以简化。本章只讨论平面结构的振动，为了进一步减少振动的自由度，对一般受弯结构的轴向变形忽略不计。 (a)具有均布质量的简支梁 (b) 无穷多个集中质量的简支梁图10.5 无限自由度体系如图10.6(a)所示为具有均布质量的简支梁，可将它分为二等分段或三等分段，将每段质量集中于该段的两端。这样，体系就简化为具有一个或
9、两个自由度的体系。分段越细则计算精度越高。图10.6 集中质量法图10.6(b)所示为三层平面刚架，当计算水平力作用下的侧向振动时，常用的简化方法就是将柱子的分布质量简化为作用于上下横梁处，所以刚架的全部质量都作用在横梁上。又由于每层横梁的刚度均很大，各点的水平位移彼此相等，因此每层横梁上的分布质量可用一个集中质量代替，则体系最后简化为具有三个自由度的计算简图，其水平位移分别为y1、y2和y3。图10.6(c)所示为一弹性地基上的设备基础，分析时可简化成刚体。当考虑基础在平面内的振动时，体系共有三个自由度，包括水平位移x、竖向位移y和转角位移。若仅考虑基础在竖向的振动，则体系只有一个自由度，即
10、竖向位移y。由以上例子可知，体系的振动自由度与确定质量位置所需独立几何参数的数目有关，与质量的数目并无直接关系，与体系的静定或超静定也无关系。如图10.7(a)所示的静定刚架上只有一个质量，但为两个自由度体系；而图10.7(b)所示的超静定刚架柱顶上有两个质量，但却是一个自由度体系。 (a)一个质点，两个自由度 (b)两个质点，一个自由度图10.7 质点数不等于自由度数如图10.8所示的由两段杆件组成的悬臂梁，左段为弹性杆，不计质量；右段为刚性杆，是具有连续分布质量的质块，要用y和两个坐标方可确定质块的位置，即体系具有两个自由度。图10.8 两段杆件的悬臂梁对于比较复杂的体系，可以反过来用限制
11、集中质量运动的方法(即附加支杆的方法)来确定其自由度。如图10.9(a)所示的结构具有两个集中质量，为了限制它们的运动，至少要在集中质量上增设三个附加链杆，如图10.9(b)所示，才能将它们完全固定，因而体系具有三个自由度。又如10.9(c)所示结构具有四个集中质量，但只要加两个附加链杆，如图10.9(d)所示，就可将它们完全固定，因而体系具有两个自由度。(a)两个集中质量 (b)三个自由度(c)四个集中质量(d)两个自由度图10.9 质点数不等于自由度数由此可见，为了使体系上所有集中质量完全固定，在集中质量上所需增设的最少链杆数即为体系的动力自由度数。*2.广义坐标法集中质量法是从物理角度提
12、供的一个减少动力自由度的简化方法。广义坐标法则是从数学的角度提供的一个减少动力自由度的简化方法。例如，具有分布质量的简支梁的振动曲线(位移曲线)，可近似地用三角级数表示为 (a)式中，是一组给定的函数，称作位移函数或形状函数，与时间无关； 是一组待定参数，称作广义坐标，随时间而变化。因此，体系在任一时刻的位置，可以由广义坐标来确定的。注意：这里的形状函数只要满足位移边界条件，所选的函数形式可以是任意的连续函数。因此，式(a)也可写成更一般的形式 (b)式中，是自动满足位移边界条件的函数集合中任意选取的n个函数，因此，体系简化为n个自由度体系。广义坐标法将在振型叠加法和能量法中应用。*3.有限元
13、法有限元法可看作是广义坐标法的一种特殊应用。和静力问题一样，有限元法是通过将实际结构离散化为有限个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来解决。现结合图10.10所示结构说明有限元法的过程。第一，将结构离散为有限个单元(图10.10所示结构为三个单元)。第二，取结点的位移参数和，即y1，1和y2，2为广义坐标。第三，分别给出与结点的位移参数(均为1时)相应的形状函数，即、和，常称为插值函数(它们确定了指定结点位移之间的形状)。第四，仿照公式(b)，体系的位移曲线可用四个广义坐标及其相应的四个插值函数表示为 (c)式中，可事先给定，让其满足边界条件。这样，就把无限自由度体系简化为四个自由度(
14、y1，1，y2，2)体系。有限单元法综合了前面集中质量法和广义坐标法的某些特点。须强调的是：动力分析中的自由度，一般是变形体体系中质量的动力自由度。而前面第2章几何组成分析中的自由度，是不考虑杆件弹性变形的体系的自由度。图10.10 有限元法10.2 单自由度体系的自由振动单自由度体系自由振动的分析很重要，这是因为：第一，很多实际的动力问题都可按单自由度体系进行计算，或初步估算。第二，单自由度体系自由振动的分析是单自由度体系受迫振动和多自由度体系自由振动分析的基础。10.2.1 单自由度体系自由振动微分方程的建立图10.11(a)表示单自由度体系的振动模型。该悬臂柱在顶部有一质体，质量为m。设柱本身质量比m小得多，可忽略不计，但有弯曲刚度。因此，体系只有一个自由度。 (b)模型二 (a)模型一 (c)质量隔离体图10.11 单自由度体系自由振动刚度法模型假设由于外界的干扰，质量m离开了静止平衡位置，干扰消失后，由于立柱弹性力的影响，质量m沿水平方向产生振动。这种由初始干扰，即初始位移或初始速度，或初始位移和初始速度共同作用下所引起的振动称为自由振动。在建立自由振动微分方程之前，先把图10.11(a)所示的单自由度体系用图10.11(b)所示的弹簧模型来表示
