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1、第一章 曲线论2 向量函数 5. 向量函数具有固定方向的充要条件是 = 。 分析：一个向量函数一般可以写成=的形式，其中为单位向量函数，为数量函数，那么具有固定方向的充要条件是具有固定方向，即为常向量，（因为的长度固定）。 证 对于向量函数，设为其单位向量，则=，若具有固定方向，则为常向量，那么=，所以 =（）=。反之，若= ，对= 求微商得=+，于是=（）=，则有 = 0 或= 。当= 0时，=可与任意方向平行；当0时，有=，而（=-(，（因为具有固定长， = 0） ，所以 =，即为常向量。所以，具有固定方向。 6向量函数平行于固定平面的充要条件是（）=0 。分析：向量函数平行于固定平面的充
2、要条件是存在一个定向向量，使 = 0 ，所以我们要寻求这个向量及与，的关系。证 若平行于一固定平面，设是平面的一个单位法向量，则为常向量，且 = 0 。两次求微商得 = 0 ， = 0 ，即向量，垂直于同一非零向量，因而共面，即（）=0 。反之, 若（）=0，则有= 或。若=，由上题知具有固定方向，自然平行于一固定平面，若，则存在数量函数、，使= + 令=，则，且。对=求微商并将式代入得=（）=，于是=，由上题知有固定方向，而，即平行于固定平面。3 曲线的概念 3. 证明圆柱螺线= a ,a, ()的切线和z轴作固定角。 证明 = -a ,a,设切线与z轴夹角为,则 =为常数，故为定角（其中为
3、z轴的单位向量）。10. 将圆柱螺线=a，a，b化为自然参数表示。解 = -a,a,b，s = ，所以，代入原方程得 =a, a, 4 空间曲线 1求圆柱螺线=a，=a，= b在任意点的密切平面的方程。 解 = -a,a,b,=-a,- a,0 所以曲线在任意点的密切平面的方程为 = 0 ，即(b)x-(b)y+az-abt=0 . 2. 求曲线 = t,t,t 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。 解 原点对应t=0 , (0)= +t,- t,+t=0,1,1， 2+ t,- t,2+t =2,0,2 ， 所以切线方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方
4、程是=0 ，即x+y-z=0 ， 主法线的方程是 即 ； 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式 。 3证明圆柱螺线=a，=a，= b的主法线和z轴垂直相交。 证 = -a,a,b, =-a,- a,0 ，由知为主法线的方向向量，而 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是 与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。 4.在曲线x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。 解 = -cossint, coscost, sin , = -coscost,- cossint , 0 sinsi
5、nt ,- sincost , cos 新曲线的方程为= coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos 对于新曲线=-cossint+ sincost ，coscost+ sinsint，sin =sin(-t), cos(-t), sin , = -cos(-t), sin(-t),0 ,其密切平面的方程是即 sin sin(t-) x sin cos(t-) y + z tsin cos = 0 .5 证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证 方法一：设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径具有固定长，所以=
6、 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则= 0，具有固定长，对应的曲线是球面曲线。 方法二：是球面曲线存在定点（是球面中心的径矢）和常数R（是球面的半径）使 ，即 （） 而过曲线上任一点的法平面方程为 。可知法平面过球面中心（）成立。 所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 7求以下曲面的曲率和挠率 , 。 解 ，所以 。 ， = ， 。 8已知曲线，求基本向量；曲率和挠率；验证伏雷内公式。 分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公
7、式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。 解 ，（设sintcost0）， 则， ， ， ， ，由于与方向相反，所以 显然以上所得 满足 ，而 也满足伏雷内公式 。9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。证方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为，则曲线在任意点的切线方程是，由条件切线都过坐标原点，所以，可见，所以具有固定方向，故是直线。方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为，则曲线在任意点的切线方程是，由条件切线都过坐标原点，所以，于是，从而，所以由曲率的计算公式知曲率k，所以曲线为直线。方法三：设定点为，曲线的方程为，则曲线在任意点的切线方程是
8、，由条件切线都过定点，所以，两端求导得: , 即 ，而无关，所以，可知，因此曲线是直线。10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。证方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为，则曲线在任意点的密切平面的方程是，由条件，即（）=0，所以平行于一固定平面，即是平面曲线。方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为，则曲线在任意点的密切平面方程是，由条件，两边微分并用伏雷内公式得 。若,又由可知,所以平行于固定方向，这时表示直线,结论成立。否则，从而知曲线是平面曲线。方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为，则曲线在任意点的密切平面方程是，由条件，即（）
9、=0，所以，共面，若，则是直线，否则可设，所以共面，所以，从而知曲线是平面曲线。 11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么曲线是直线或平面曲线。证 方法一：根据已知，若是常向量，则k=0 ，这时曲线是直线。否则在两边微分得=，即 k=,所以=，又因，所以，而为单位向量，所以可知为常向量，于是，即，此曲线为平面曲线。方法二：曲线的方程设为，由条件，两边微分得，所以， ，共面，所以（）。由挠率的计算公式可知，故曲线为平面曲线。当时是直线。方法三：曲线的方程设为，由条件，两边积分得（是常数）。因是平面的方程，说明曲线在平面上，即曲线是平面曲线，当有固定方向时为直线。12证明曲率为常数的空
10、间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。证明 设曲线（C）：的曲率k为常数,其曲率中心的轨迹（）的方程为： ，（为曲线（C）的主法向量），对于曲线（）两边微分得 ，（，分别为曲线（C）的单位切向量，副法向量和挠率），曲线（）的曲率为 为常数。14设在两条曲线、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。 证 设曲线：=与：点s与一一对应，且对应点的切线平行，则=, 两端对s求微商得, 即 ，(这里k0，若k=0，则无定义)，所以，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。15设在两条曲线、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法
11、线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。证 设,分别为曲线、的切向量, 分别为曲线、的主法向量,则由已知，而将式代入。所以常数，故两曲线的切线作固定角。16.若曲线的主法线是曲线的副法线, 的 曲率、挠率分别为.求证k=(+) ,其中为常数。证 设的向量表示为=，则可表示为=+， 的切向量=+（k+）与垂直，即，所以为常数，设为，则（k）+.再求微商有k（k）k，（k）k，所以有k=(+)。17曲线=a(t-sint),a(1-cost),4acos在哪点的曲率半径最大。解 = a1-cost,sint,-2sin , = asint,cost,-cos, ,=,| |= , , ,所以在t=(2k+1)，k为整数处曲率半径最大。 5 一般螺线5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固
