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1、简单几何体的外接球与内切球问题 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面 体的外接球。定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多 面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。一、直棱柱的外接球1、长方体的外接球： 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,
2、b,c，则体对角线长为l = .ja2 + b2 + c2，几何体的外接球直径2R为体对角线长i即R：a2 + b2 + c222、正方体的外接球：正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为朽a，其外接球的直径2R为运a。3、其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。例 1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积为8 例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为16，则这个球的表面积是A. 16兀B. 20kC. 24兀D. 32兀二、棱锥的外接球
3、1、正棱锥的外接球方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。例3、正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为箍，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.例 5、若正四面体的棱长为 4，则正四面体的外接球的表面积为。例 6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥 的体积是：( )(A)亘(B)叵(C)亘(D)互434122、补体方法的应用( 1)、正四面体( 2)、三条侧棱两两垂直的三棱锥(3)、四个面均为直角三角形的三棱锥例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6c
4、m2、4cm2和3cm2,那么它的外接球的体积是 。例9、在三棱锥A - BCD中， AB 丄平面BCD, CD 丄 BC, AB = 3，BC 二 4, CD 二 5则三棱锥A - BCD外接球的表面积。例 10、如图为一个几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为()B. 8n C. 12n三、圆柱、圆锥的外接球 旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。例 11、圆柱的底面半径为 4，母线为 8，求该圆柱的外接球的半径。例 12、圆锥的底面半径为 2，母线长为 4，求该圆锥的外接球的半径。四、正方体的内切球设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。（1）截面图
5、为正方形EFGH的内切圆，得R =仝;（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各2棱的中点，作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R二辽a。2图 1图 2五、棱锥的内切球（分割法）将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分 割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V,表面积为S,则内切球的半径为r = 3VS例17、正四棱锥S - ABCD，底面边长为2,侧棱长为3,贝内切球的半径是多少？例18、三棱锥p- ABC中，底面AABC是边长为2的正三角形，pa丄底面ABC，且PA = 2，则此三棱锥内切球
6、的半径为（ ）六、圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）例19、圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比 例 20、圆柱的底面直径和高都是 6，求该圆柱内切球的半径。巩固训练：个底面和三个侧面都相切）和一个外接球表面积之比为。p- ABCDEF ， 则此正六棱锥的侧面积是3、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是4、已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径，且SC二2 ；则此棱锥的体积为（）A上2B迢C上2D空66325、已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA丄平面ABCD,四边形ABCD是边长为2、3正方形若PA=2虏,则AOAB的面积为.个正四面体的內切球二外接球，棱切球的半径如何计算”已知正四A-BCD的棱长为小 求它的?接球半径內切球半径、棱切球半径， 解：由正四面体的对称性与球的对称性知球心在正四面体的高上.亠VSz?內切球半径尸=0G = AG-AO =工匕12棱切球半径次oe = Jeg + og
