积微分在高中数学中应用--毕业设计.doc

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1、毕业论文题 目 微积分在高中数学中的应用 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 研究类型 研究综述 提交日期 2013-5-10 原创性声明 本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名: 年 月 日论文指导教师签名: 年 月 日微积分在高中数学中的应用宋安康(天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000)摘 要 微积分是高等数学中应用最广泛的学科

2、之一,应用微积分能快速解决生活中的实际问题,本文主要研究运用微积分解决高中数学中有关极限、导数、微分、不等式等问题中的应用,系统地分析总结出微积分在高考数学中的简便解题方法.关键词 极限; 微积分;应用;高中数学.Applications of the Calculus in Mathmatics in High SchoolSong Ankang(School of Mathmatics and Statistics, Tianshui Normal University, Gansu, China, 741000)Abstract Calculus is one of the most w

3、idely-used subjects in mathematics in high school; the application of calculus can help us quickly solve the practical problems in our daily life. This paper mainly studies the application of calculus in solving mathmatics problems, such as limit, derivative and differential, and inequality, in high

4、 school, systematically analysising and summerizing some simple and convenient mathmatics problem-solving methods of calculus in high school.Key words limit, calculus, application, Mathmatics in high school.目 录1引言12 极限12.1 函数的极限12.2函数极限的求法23微分.43.1变化率与导数43.2导数的应用44积分164.1积分的概念165综合应用175.1不等式的综合应用175

5、.2用微分中值定理185.3 微积分在高中数学竞赛中的应用205.4微积分在高考中的应用226小结25参考文献26数学与统计学院2013届毕业论文1引言为了描述现实世界中的运动,变化着的现象,在数学中引入函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念,随着对函数研究的不断深化,产生了微积分,它是数学发展史上继欧式几何后又一个具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类问题直接相关,一是已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度,反之,已知物体的加速度作为时间的函数,求速度与路程;二是求曲线的切线;三是求函数的最大值与最小值;

6、四是求长度,面积,体积和重心等.几百年中,科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰.终于,在17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上,凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力,各自独立的创立了微积分.导数是微积分的核心观念之一,它是研究函数增减,变化快慢,最大(小)值等问题的最一般,最有效的工具,因而也是解决诸如运动速度,物种繁殖率,绿化面积增长率,以及用料最省,利润最大,效率最高等实际问题的最有力的工具,定积分也是微积分核心观念之一,与导数相比,定积分的起源要早的多,它的思想萌芽甚至可以追溯到两千多年前,自然科学和生产实践中的许多问题,如一般平面图形的面积,变速直线运的路程,变力所做的功等

7、都可以归结为定积分的问题,实际上,微积分在物理,化学,生物,天文,地理以及经济各种科学领域中都有非常广泛的应用.在本文中,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数和定积分的基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质,解决生活中的最优化问题等实践活动,通过应用定积分解决一些简单的几何和物理问题,初步感受导数和定积分在解决数学问题与时间问题中的作用;通过微积分基本定理的学习,初步体会导数与定积分之间的内在联系,最好的解决了高考中的考点问题.2 极限 极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值).2.1 函数的极限定义 设

8、是一个定义在实数上的函数. 是一个给定的实数.是一个数,并且函数在的某个去心邻域上有定义.如果对任意的正实数都存在一个正实数使得对任意的实数只要在点处有定义,并且在的某个一个去心领域中即),就有,那么就称是函数在趋于时的极限.2.2函数极限的求法本节论述几种函数极限的求法.2.2.1约去零因子求极限例1 求极限【说明】表明无限接近,但,所以这一零因子可以约去.解 (传统法) =4. (洛必达)=.2.2.2 分子分母同除求极限 例2 求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求. 解 .【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方; (2) 2.2.3 分子(母)有理化求

9、极限例3 求极限 【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式.解 .例4 求极限解 .【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解题的关键.2.2.4 用洛必达法则求极限例5 求极限说明 或型的极限,可通过洛必达法则来求.解 例6 求解(方法一)= = =0 (方法二) =0(洛必达法则)3微分.3.1变化率与导数一般地,函数在处的瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作=|,即=例7(2009海南)曲线在处的切线方程解 ,则+ 所以|故在点处的切线方程为,即.例8求函数在,+内的平均变化率.解 + = + (+) =4+2所以 =4+2=4+2.3.2导

10、数的应用为了方便,今后我们直接使用下面的基本初等函数的导数公式.3.2.1基本初等函数的导数公式1 若c(c为常数),则;2 若(Q),则 ;3 若, 则 ;4 若, 则;5 若,则;6 若,则;7 若, 则 ;8 若 , 则 ;3.2.2导数运算法则1 =.2 =g(x).3 = .4 例9 求)的导函数;解 = = =.3.2.3 导数在函数的应用函数是描述描述客观世界规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减,增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的,通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解,科学家们对数量的变化规律进行长期的研究,导致了微积分

11、的创立.1单调性与导数 一般地,函数的单调性与导函数的正负有关. 在某区间内,如果,那么函数在这个区间上单调递增;如果, 那么函数在这个区间上单调递减.求函数单调区间的步骤. (1)确定函数的定义域. (2)求导数 . (3)由()解出相应的的取值范围,当时,(4)在相应的区间上是减函数;当时,在相应的区间上是增函数2 函数的最值与导数. 利用导数求极值可分为三步.(1)求导数;(2)求方程的根; (3)检验在方程的根的左右两边的符号,确定极值例10 求函数,的极值,最值解 因为,令,得又因为由表中可知,为函数的极小值点,当时,所以在区间上最大值为,最小值为.例11(2007年全国卷)设,其中

12、为正实数. 当时,求的极值点; 若为上的单调函数,求的取值范围.解 对求导得.当时,若,则,解得,可知+0_0+极大值极小值所以,是极小值点,是极大值点.若为R上的单调函数,则在R上不变号,结合与条件,知 ,在R上恒成立,因此,由此并结合,知.例12(2009江苏文科) 已知是实数,和是函数的两个极值点 求和的值;设函数的导函数,求的极值点;解 由,得,因为和是函数的两个极值点,所以 ,解得. 由得, ,解得. 当时,;当时,, 是的极值点.当或时,所以 不是的极值点. 的极值点是. 【规律方法】在高考中,关于函数极值问题比较常见的题型是已知函数的极值确定字母的取值范围或值例13(2008四川

13、卷理)已知是函数的一个极值点,求解 因为,所以,因此3.2.4导数在方程解的问题上的应用 利用导数判定单调性,可研究方程根的个数问题. 例14( 2011年湖南理科)已知函数() =,()=+,求函数()=()-()的零点个数,并说明理由;解析由知,而,且,则为的一个零点,且在内有零点,因此至少有两个零点.解 因为,记,则. 当时,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点.又因为,则在内有零点,所以在内有且只有一个零点.记此零点为,则当时,;当时,,所以当时,单调递减,而,则在内无零点;当时,单调递增,则在内至多只有一个零点;从而在内至多只有一个零点.综上所述,有且只有两个零点.例15(2009天津文21)设函数 (2)求函数的单调区间与极值. (3)已知函数有三个互不相同的零点且.若对任意的恒成立,求的取值范围.解(2),令,得到因为,当变化时,的变化情况如下表0 0极

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