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1、二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二 面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角 大小方法的典型几何体。笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1） 平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间 距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。一、 平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。 以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内 分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角
2、， 如图二面角a-l-B中，在棱l上取一点O,分别在a、B 两个平面内作AO丄l, BO丄l,ZAOB即是所求二面角的平面角。例题1：已知正方体ABCD-ABCD中，0、1111 大小。例题2：已知正方体ABCD-A BCD中，E、F为AD、CD的中点，求平面EFCA与底面ABCD1 1 1 1 1 1 1 1 所成的二面角。利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。如图二面角a-l-B中，在平面a内取一点A, 过A作AB丄平面B, B是垂足，由B （或A）作B0 （或A
3、O）丄1,连接A0 （或BO）即得AO是平面B的斜线，BO是A0在平面B中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO丄1, BO丄1, 即ZAOB是a-1-B的平面角。例题3：已知正方体ABCD-A BCD中，求二面角B-AC-B的大小。 1 1 1 1 11111例题4：已知正方体ABCD-ABCD中，求平面ACD与平面BDC所成的二面角。三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。方法是 过所求二面角的棱上一点，作棱的垂面，与两个平面相交所得两条交线的所成角即是二面角的平 面角。如图在二面角a-1-B的棱上任取一点O,过O作 平面Y丄1,aG
4、Y二AO,BG Y二BO,得ZAOB是平面角, 1丄Y，1丄AO, 1丄BO。AZAOB是二面角的平面角。例题5：已知正方体ABCD-ABCD中，求二面角B-A C-D的大小。1 1 1 1 1例题6：已知正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是BB、 所成的二面角。四、判定垂面法 此法根据平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直 反之，若能判定两个平面垂直，则这两个平面所成的二面角是 900，无须寻作二面角的平面角。如图若已知或证得a a,a丄B：a丄B。则二面角a-1-B的大小即是90oo可见判定面面垂直是求二面角的 一种特殊情况。例题7：已知正方体AB
5、CD-ABCD中，求平面BDC与平面ACCA 所成的二面角。例题8：已知正方体ABCD-A B CD中，O是上下底面正方形的中心, V是OO的中点，求平面avB与平面CVD所成的二面角。1五、 异面直线上两点间距离公式法此法按高中立体几何课本 P45 页例 2 证明的公式，求二面角大小，题意是已知两条异面直线 a、 b 上分别取点 E、F,设 A E=m, AF=n，求 EF。如图公式是：EF=&2 + m2 +n2 土2mncosO （注意 E、F在AA同侧时取“-” EF在AA异侧时取“ + ”号。）应用该公式是求异面直线上两点间的距离,若把所求二面角当作G角,，即是异面直线a、b和公垂线
6、AA 确定的两个平面所成的二面角，用函数观念来理解公式中 五个量,已知其中四个量即可求第五个量,若已知或易求 知EF、d、m、n则求cos 0,0即是所求二面角。例题9：已知正方体ABCD-ABCD中，H是BC棱上一点 且BH： BC=1： 3,求二面角H-aA -C的大小。11例题10:已知正方体ABCD-A B C D中， 且AE： EB=1： 2,求二面角A-OO-E的大小。11六、平行移动法若所求二面角的棱线隐含未知或难寻作棱时,可采用将二面角中的一个平面平行移动到适当 位置，作得新的二面角大小与所求二面角相等，并可求得新的二面角大小。如图将所求平面a与 平面B所成的二面角中a平面平行
7、移动到平面丫位置处，即求Y与B所成的二面角即是所求二面 角大小。例题11：已知正方体ABCD-ABCD中，G、E、F是所在棱 的中点，求平面EFG与平面ABCD所成的二面角。GDEF1COABA1CiO1 i s HD例题12：已知正方体ABCD-ABCD中，0】是上底面正方形的中心，E、F是AB、CD的中点，求平 面AOD与平面EO F所成的二面角。11 1七、 投影面积法在二面角一个平面内若已知一个任意多边形的面积为 S， 该多边形在另一个平面内投影面积为 S ，该二面角大 射小。可用cos9=淪来计算。如图所示，此结论证明本文略。S高中课本P68页习题八中11题就是类似证明习题。此方法
8、适合求二面角中易解得 S、S 时用。射例题13:已知正方体ABCD-ABCD中,B EF 与底面 A B C D 所成的二面角。1 1 1 1 1E是BC的中点，F在AA 上，且AF： FA=1： 2,求平面例题14:已知正方体ABCD-A BCD中,E是CC的中点,11111八、 棱锥体积法此方法把所求二面角看作为求棱锥的一个侧面与底面所成的二面角，在已知或易求棱锥底面 面积、侧面一个面面积和体积前提下，即可用锥体体积公式V=1S h，3底 来探求二面角大小。如图已知三棱锥V-ABC中,V0是咼线，若已得底面面积是S, AB二a, 一个侧面/ABV面积是S，体积是V,求二面角C-AB-V大小。现设所求C-AB-V平面角是如图中的ZVDO,/ABV 面积 S=1 a-VD，sinZVDO二Y0 ,1 2VD.*. VD= -2Sr , VO =笔-sin ZVDO，利用棱锥体积公式， aaii 2 S2 S sV = 一S - VO = 一S - LsinZVDO =r-sinZVDO，33 a3 asinZVD0=3工，即求出了二面角C-AB-V的大小。2 - S - S1例题15：已知正方体ABCD-A BCD中，求二面角A-A C-D的大小。 1 1 1 1 1例题16：已知正方体ABCD-ABCD中，M、N是所在棱的中点，求平面MDN与底面ABCD所成 二面角。1111
