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1、初中数学竞赛题典数的整除 题l 所有四位数中，有（）个数能同时被入3，5，7和11整除？ （A）l（B）2（C）3（D）4 题2 设n是 100到 200之间的自然数，则满足7n2是5的倍数的。共有（）个题3一个六位数能被12整除，这样的六位数共有多少个 （A）4 （B）（C）8（D）12 题4 已知7241可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是（）， 题6 n是一个两位数，它的数码之和为a当n分别乘以3，5，79以后得到4个乘积假如其每一个积的数码之和仍为a，那么，这样的两位数n有（） 题8设某个n位正整数的n个数宇是1，2，n的一个排列，假如它的前k个数字所组成的整数能被k整除，其
2、中k1，2，n，那么就这个n位数为一个“好数”例如，321就是一个三位“好数”，由于1整除3，2整除32，3整除321那么六位“好数”的个数为（）题9能被11整除的最小的九位数是题12在自然数1，2，3，1990，1991中不能披7整除的数有（）个题13将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），假如得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数，在小于l30的自然数中，魔术数的个数为（）题14在所有的五位数中，各位数字之和等于43且能被11整除的数是（）。题15定义：假如n个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两数的积能被这两数的和整除那么，叫这组数为n个数的祖冲之
3、数组。例如：60，120，180这三个数就构成一个三个数的祖冲之数组，（因（60120）（60120），（60180）（60180），（120180）（120180）都是整数）请你写出一组四个数的祖冲之数组题16 设a、b、c为整数，且ab和ab均可被c整除，求怔：a3b3可被c2整除题17 设a、b、c为正整数，求证：a3（bc）b3（ca）c3（ab）可被abc整除题19 一个魔方是由自然数组成的正方形网格。它有如下性质：每一行，每一列及两条对角线上的数的和都相同，这个值称为魔方和。求证：每一个33大小的魔方的魔方和都能被3整除。题20 求证：假如两个不可约分数的和是整数，那么这两个分数的
4、分母相同。题21 设a和b为自然数，使得a2ab1可被b2ba1整除，求证：ab。题22 自然数a、b、c、d都可以被abcd整除，其中abcd0。求证：abcd1。题23 使求出所有这样的自然数n，使得n33可被n3整除。题26 圆上有9个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到一个9位数并且能被27整除。求证：假如从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个9位数也能被27整除。题27 任意给定一个自然数A，把A的各位数字按逆序写出来，形成一个新的自然数A。试证：AA是9的倍数。题28 设n是正奇数，试证：1n2n9n3（1n6n8n）能被18整除。题29 求证：
5、被1001整除。题30 求证：7|（2222555555552222）。题31 求证：对任何自然数，数（2n1）n3都可被2n3整除。题33 给定自然数a，b和n，已知对任何自然数k（k0），数akn能被bk整除，证明：abn。题34 设k为正奇数，证明12n整除（1k2knk）。题35 求证：467|512367537203。题36 已知最简分数可以表达成。试证：分子m是质数1993的倍数。题37 设p与q是自然数，满足。求证：p可被质数1979整除。题38 设p为奇质数，求证：的分子a是p的倍数。题39 给定，其中是不可约分数，试证：m能被5整除。题40 试证：将和写成一个最简分数时，m不
6、会是5的倍数。题41 设n是正偶数，求证：（2n1）不整除（3n1）。题42 试证：对每一个自然数n，数1199721997n1997不能被n2整除。题46 一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b，假如a恰是b的3被，我们称a是一个“希望数”。（1）请举例说明：“希望数”一定存在。（2）请证明：假如a，b都是“希望数”，则一定有729|ab。题47 求证：对任何自然数n，都有120|n55n34n。题48 求证：n（n21）（n25n26）可以被120整除。题49 试证：n2（n21）（n24）可以被360整除。题50 设n是任意自然数，求证：是整数。题51 若干个整数的和能被6
7、整除，求证：这些数的立方和也能被6整除。题52 今有6根金属棒，每根的长度都是1m，能否将它们锯成10根27cm长、12根15cm长和25根6cm长的短棒？（锯棒时的损耗可忽略不计）题53 柯楼南契大蛇有1000个头。神话中的大力士能一次用剑看去1，17，21或33个头，但是大蛇又相应地生出10，14，0或48个头。问大力士能战胜柯楼南契大蛇吗？题54 一天我发现了如下的魔术钱币机：假如我放入一枚一分的硬币，出来一枚5分硬币和一枚一角硬币；假如我放进一枚5分硬币，机器给出四角硬币，而假如我放如一枚一角硬币，我取回3枚一分的硬币我用一枚一分的硬币开始，反复进行以上过程，能出现我刚好有一美元硬币的
8、机会吗？验证答案题55 是否存在两个不等于0的整数a和b，其中之一可被它们的和整除，另一个可被它们的差整除？题56 一个凸n边形被划提成黑、白两色的若干个三角形，使得任意两个三角形要么有公共的边（这时它们染不同颜色），要么有公共顶点，要么没有公共顶点。而多边形的每条边都是某个黑色三角形的边。证明：3|n。题57 求证：不存在整数a、b、c、d，使当x19时，ax3bx2cxd1，以及当x62时，ax3bx2cxd2。题58 公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前三个数字之和等于后三个数字之和，刚称这张车票是幸运的试证：所有幸运车票号码的和能被13整除，题59 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号假如号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”例如号码0734，因0734，所以这个号码的购物券是幸运券试证：这个商场合发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除
