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1、第二节等差数列第二节等差数列第六章第六章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列基本量的运算2.等差数列的判断与证明3.等差数列的性质及其应用数学抽象数学运算逻辑推理数学建模强强基础基础 增增分策略分策略知识梳理1.等差数列的概念(1)等差数列:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它前一项的差都等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做
2、等差数列的,公差通常用字母表示,定义的表达式为an-an-1=d(nN*,n2)或an+1-an=d(nN*).(2)等差中项:若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有.2 同一个常数 公差 d 2A=a+b 微点拨(1)等差数列中,从第2项起,每一项都是它前一项与后一项的等差中项,即an+1+an-1=2an(nN*,n2).证明一个数列是等差数列的“等差中项法”(2)任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.2.等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式:an=(nN*).(2)等差数列前n项和公式:Sn=.a1+(n-1)d 微思考在等差数列an中,通项an是关于
3、n的一次函数吗?前n项和Sn是关于n的二次函数吗?提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列an中,an=kn+b(k,bR),当k=0即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数;同理Sn不一定是关于n的二次函数,当数列为常数列时,Sn=bn,不是二次函数.3.等差数列的常用性质(1)等差数列的通项公式的推广:an=am+(n,mN*).(2)若数列an为等差数列,且m+n=p+q,则(m,n,p,qN*).特别地,若m+n=2t,则am+an=2at(m,n,tN*).(3)若数列an是等差数列,公差为d,前n项和为Sn,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为md的
4、等差数列.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,(mN*)也是等差数列,公差为m2d.(n-m)d am+an=ap+aq 常用结论1.数列an为等差数列的充要条件是an=kn+b(k,bR).2.若数列an的前n项和为Sn,则“数列an为等差数列”的充要条件是“Sn=an2+bn(a,bR)”.3.在等差数列an中,若a10,d0,则Sn存在最大值;若a10,则Sn存在最小值.4.在等差数列an中,若d0,则数列an为递增数列;若d0,则其前n项和Sn不存在最大值.()2.(2022河北石家庄二模)等差数列an的前n项和记为Sn,若a2+a2 021=6,则S2 022=()A.3 033
5、B.4 044C.6 066D.8 088答案 C 解析由等差数列an知,a2+a2 021=a1+a2 022=6,3.(2022全国乙,文13)记Sn为等差数列an的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=.答案 2 解析设等差数列的公差为d.由题意得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即3d=6,解得d=2.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算典例突破例1.(1)设Sn为等差数列an的前n项和,若S5=S2+a11,且a1=1,则a8=()A.8B.15C.64D.82(2)(多选)已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d=1.若a1
6、+3a5=S7,则以下结论正确的是()A.a3=-1 B.Sn的最大值为-6C.S3=S5 D.当n7时Sn0答案 (1)B(2)AD 解析(1)设等差数列an的公差为d.(2)由a1+3a5=S7,得a1+3(a1+4)=7a1+21,解得a1=-3.对于A选项,a3=a1+2d=-3+2=-1,故A正确;对于B选项,由于公差d=10,所以数列an是递增数列,因此Sn无最大值,故B错误;对于C选项,S3=3a1+3d=-9+3=-6,S5=5a1+10d=-5,方法总结解决等差数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式
7、列方程(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)等价转化思想:运用等差数列性质可以化繁为简,优化解题过程.对点训练1(1)记Sn为等差数列an的前n项和,若a3+a4=12,S3=9,则a7=.(2)(2022河北唐山一模)记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,若a3=S5,a1a4=a5,则an=.答案(1)13(2)3-n 解析(1)设数列an的公差为d,则S3=3a2=9,a2=3,所以a3+a4=3+d+3+2d=12,解得d=2,所以a
8、7=a2+5d=3+52=13.(2)设等差数列an的公差为d(d0),考点二考点二等差数列的判断与等差数列的判断与证明明典例突破例2.已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,a1=2,且对任意nN*,anSn+1-an+1Sn=2an+1-2an恒成立.(1)求证:数列 是等差数列;(2)求数列an的通项公式;(3)若不等式ann-5对任意的正整数n恒成立,求实数的取值范围.(1)证明因为anSn+1-an+1Sn=2an+1-2an,所以an(Sn+1+2)=an+1(Sn+2).又数列an各项均为正数,即anan+10,所以Sn=2an-2.当n2时,Sn-1=2an-1-2,从而得
9、an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,因此数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,故数列an的通项公式为an=2n.方法总结等差数列的判断与证明的方法 方法解读适合题型定义法an-an-1(n2,nN*)为同一常数an是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an=an+1+an-1(n2,nN*)成立an是等差数列通项公式法an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列对点训练2已知数列an的各项均为正数,记Sn为an的前n项和,从下面中选取两
10、个作为条件,证明另外一个成立.数列an是等差数列;数列 是等差数列;a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解若选设数列an的公差为d1,数列 的公差为d2.当nN*时,an0,d10,d20.a2=a1+d1=3a1.若选设等差数列an的公差为d.a2=3a1,a1+d=3a1,d=2a1,an=(2n-1)a1,nN*.又an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,数列an是等差数列.考点三考点三等差数列的性等差数列的性质及其及其应用用(多考向探究多考向探究)考向1.等差数列的性质典例突破例3.(1)各项均为正数的等差数列an的前n项和为Sn,已知a
11、2+a8=,则S9=()A.8B.9C.16D.18(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am+am-1=73(m3),Sm=2 020,则m的值为()A.100 B.101C.200 D.202答案 (1)D(2)B 技巧点拨利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)等差数列中两项和的转换是最常用的性质,利用2am=am-n+am+n可实现项的合并与拆分,在Sn=中,Sn与a1+an可以相互转化.(2)在等差数列中,前奇数项的和与中间项的关系S2n-1=(2n-1)an可以将中间项与前n项和联系起来,相互转化.对点训练3(1)(2022广东茂名高三检测)等差数列an的前
12、n项和为Sn,an0,若S9=,a1=1,则数列an的公差为()A.-3B.3C.-1D.2(2)(2022江苏泰州模拟)已知等差数列an的前n项和是Sn,S180,S190,则数列|an|中值最小的项为第项.答案(1)D(2)10 a100,a90,a9-a100,|a9|a10|,故等差数列an为递减数列,即公差为负数,因此|an|的前9项依次递减,从第10项开始依次递增,由于|a9|a10|,|an|最小的项是第10项.考向2.等差数列前n项和的性质典例突破解析 (1)由等差数列前n项和的性质可知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,令S4=k,则S8=3k,则S8-
13、S4=2k,S12-S8=3k,S16-S12=4k,所以S12=6k,S16=10k,故易错警示1.在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,并不是Sm,S2m,S3m成等差数列,在运用时注意区分.对点训练4(1)已知等差数列an的前n项和为Sn,且 =1,S4=16,则a1=()A.1B.2C.3D.4考向3.等差数列的最值问题典例突破例5.(2022全国甲,理17)设Sn为数列an的前n项和.已知 +n=2an+1.(1)证明:an是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.方法总结求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 对点训练5已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是()A.5B.6C.7D.8答案 C解析由S3=S11,得a4+a5+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.又因为a1=13,所以数列为递减数列,从而得到a70,a80,故当n=7时Sn最大.故选C.
