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1、第三节等比数列第三节等比数列第六章第六章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.1.等比数列基本量的运算2.等比数列的判断与证明3.等比数列的性质及其综合应用数学抽象数学运算逻辑推理强强基础基础 增增分策略分策略知识梳理1.等比数列的概念(1)等比数列:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比都等于,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比常用字母q表示(显然q
2、0),定义的表达式为(2)等比中项:若三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项,且有.2 同一个常数 公比 G2=ab 微点拨(1)等比数列的任意一项都不能为零,公比不能为零;(2)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它前一项与后一项的等比中项,即an+1an-1=(nN*,n2);(3)并非任何两个实数都有等比中项,只有同号的两个实数才有等比中项,且等比中项一定有两个,它们互为相反数.这是数列是否为等比数列的一个重要前提 2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=(nN*);微点拨在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情况而导致解
3、答错误.a1qn-1 常用结论 3.若数列an为公比不为1的等比数列,其前n项和Sn=Aqn+B(A0,B0,q0,q1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数数列的前n项和Sn=Aqn-A(A0,q0,q1),则数列an必为等比数列.4.若数列an的前n项和为Sn,且Sn=kan+b(k0,k1),则数列an必为等比数列.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)任何两个实数都有等比中项,且其等比中项有两个.()(2)若数列an的通项公式是an=cqn(c,qR,c0,q0),则数列an一定是等比数列.()(3)在等比数列an中,若aman=apaq,则m+n=p+
4、q.()(4)若等比数列an的前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列.()2.(2022湖南常德一模)设Sn为等比数列an的前n项和,若a4=4,S3=S2+2,则a1=()答案 A 3.(2022陕西咸阳模拟)等比数列an中,a1+a2=6,a3+a4=12,则an的前8项和为()答案 A 解析an是等比数列,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比数列.a1+a2=6,a3+a4=12,a5+a6=24,a7+a8=48,前8项和为a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一等比数列基本量的运算等
5、比数列基本量的运算典例突破例1.(1)已知等比数列an的前n项和为Sn,且A.6B.5C.8D.7(2)(2022全国乙,理8)已知等比数列an的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=()A.14B.12C.6D.3答案 (1)D(2)D 方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项a1和公比q,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含a1,q,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目中公比q未
6、知,则运用等比数列前n项和公式时要对q分q=1和q1两种情况进行讨论.对点训练1(1)(2022广东汕头一模)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,4a1,2a3,a5成等差数列,则a1=()考点二考点二等比数列的判断与等比数列的判断与证明明典例突破 例2.(2022山东菏泽二模)已知数列an中,a1=1,它的前n项和Sn满足2Sn+an+1=2n+1-1.方法总结 对点训练2在S3=17,S1+S2=4,S2=4S1这三个条件中任选一个,补充到下面的横线上,并解答相应问题:在数列Sn中,Sn0,且Sn+1=3Sn+2.(1)证明:数列Sn+1为等比数列.(2)若,是否存在等比数列a
7、n,使得其前n项和为Sn?若存在,求出数列an的通项公式;若不存在,请说明理由.(1)证明在数列Sn中,因为Sn0,且Sn+1=3Sn+2,所以Sn+1+1=3(Sn+1),所以数列Sn+1是公比为3的等比数列.(2)解若选择条件,不存在.因为S3=17,所以S3+1=18.因为Sn+1是公比为3的等比数列,所以(S1+1)32=18,解得S1=1,于是Sn+1=23n-1,Sn=23n-1-1.又Sn+1=3Sn+2=63n-1-1,两式相减得an+1=43n-1.因为a1=1,不符合上式,所以数列an不是等比数列,所以不存在满足条件的数列an.若选择条件,不存在.因为Sn+1是公比为3的等
8、比数列,所以S2+1=3(S1+1).因为a1=,不符合上式,所以数列an不是等比数列,所以不存在满足条件的数列an.若选择条件,存在.因为Sn+1是公比为3的等比数列,所以S2+1=3(S1+1).又S2=4S1,所以S1=2,所以Sn+1=3n,即Sn=3n-1,所以Sn+1=33n-1.两式相减得an+1=23n.又因为a1=2,符合上式,所以数列an是等比数列,此时an=23n-1.考点三考点三等比数列的性等比数列的性质及其及其综合合应用用(多考向探究多考向探究)考向1.等比数列的性质典例突破例3.(1)(2022山东济宁一模)在等比数列an中,a1+a3=1,a6+a8=-32,则
9、A.-8B.16C.32D.-32(2)记Sn为等比数列an的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=()A.7B.8C.9D.10解析(1)设等比数列an的公比为q,则a6+a8=(a1+a3)q5=1q5=-32,所以q5=-32,(2)设等比数列的公比为q,由题意知q1.根据等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4).因为S2=4,S4=6,所以(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.易错警示在等比数列中,所有的奇数项同号,偶数项也同号,在根据等比数列的性质求某一项的值时,需注意这一点.对点训练3(1)在各项均为正数的等
10、比数列an中,已知a1 011=3,那么log3a1+log3a2+log3a2 021=()A.4 042B.2 021C.4 036D.2 018(2)在等比数列an中,an0,若A.2B.4C.8D.16 答案 (1)B(2)A 解析(1)因为a1 011=3,所以a1a2a2 021=(a1 011)2 021=32 021,所以log3a1+log3a2+log3a2 021=log3(a1a2a2 021)=log332 021=2 021.故选B.答案 (1)B(2)A 技巧点拨解决等差数列与等比数列综合问题的技巧(1)解决等差数列与等比数列的公共项问题时,应根据两种数列的通项公
11、式,对公共项用两种形式表示,从而建立基本量之间的关系进行求解.(2)注意等差数列与等比数列之间可以相互转化,对正项等比数列取对数可得到等差数列,以等差数列的项为幂指数的同底数的幂值则构成等比数列.对点训练4(2022广东汕头三模)已知各项均为正数的数列an中,a1=1且满足 =2an+2an+1,数列bn的前n项和为Sn,满足2Sn+1=3bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若在bk与bk+1之间依次插入数列an中的k项构成新数列cn:b1,a1,b2,a2,a3,b3,a4,a5,a6,b4,求数列cn中前50项的和T50.an+1+an0,an+1-an=2,an是首项a1=1,公差为2的等差数列,故an=2n-1.又当n=1时,2S1+1=3b1,得b1=1,当n2,由2Sn+1=3bn,得2Sn-1+1=3bn-1,-整理得bn=3bn-1,
