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1、第第2 2课时求空间角课时求空间角高高 考考解答题解答题专项四专项四考点一考点一异面直异面直线所成的角所成的角典例突破例1.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA平面ABCD,AD=SA=2,AB=1,点E是棱SD的中点.(1)证明:SCAE;(2)求异面直线CE与BS所成角的余弦值.方法总结用向量法求异面直线所成角的步骤 对点训练1(2022安徽舒城中学模拟)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是正方形,AFDE,AF=AD=2DE,AF底面ABCD.(1)证明:BD平面CEF;(2)求异面直线BD与CE所成角的余弦值.(1)证明如图,连接AC,交BD于点M,取CF的中
2、点N,连接MN,NE.又由AFDE,AF=2DE,所以MNDE,MN=DE,故四边形MNED是平行四边形,所以BDNE.又因为BD平面CEF,NE平面CEF,所以BD平面CEF.图(2)解以A点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,图 考点二考点二直直线与平面所成的角与平面所成的角典例突破例2.(2022浙江,19)如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,ABDC,DCEF,AB=5,DC=3,EF=1,BAD=CDE=60,二面角F-DC-B的平面角为60.设M,N分别为AE,BC的中点.(1)证明:FNAD;(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.又CDCF且CDBC,BCF为二面
3、角F-DC-B的平面角,BCF=60,BCF为等边三角形.又N为BC的中点,FNBC.又CF平面BCF,CB平面BCF且CBCF=C,DC平面BCF.又FN平面BCF,FNDC.又DC平面ABCD,BC平面ABCD且DCBC=C,FN平面ABCD.又AD平面ABCD,FNAD.方法总结求直线与平面所成角的两种方法 对点训练2如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1=2AB=2,E是DD1上的一点,且DE=.(1)求证:平面A1B1D平面AEC;(2)求直线A1D与平面AEC所成角的正弦值.(1)证明在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1平面AA1D1D.因
4、为AE平面AA1D1D,所以A1B1AE.又因为A1DA1B1=A1,所以AE平面A1B1D.因为AE平面AEC,所以平面A1B1D平面AEC.(2)解在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA,DC,DD1两两垂直,故以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.考点三考点三二面角二面角典例突破例3.在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=,QC=3.(1)证明:平面QAD平面ABCD;(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.(1)证明取AD的中点为O,连接QO,CO.因为QA=QD,OA=OD,则QOAD.因为QC=3,则
5、QC2=QO2+OC2,故QOC为直角三角形,且QOOC.因为OCAD=O,故QO平面ABCD.因为QO平面QAD,所以平面QAD平面ABCD.(2)解在平面ABCD内,过点O作OTCD,交BC于点T,则OTAD,由(1)知QO平面ABCD,则以OT,OD,OQ所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示.则D(0,1,0),Q(0,0,2),B(2,-1,0),方法总结利用空间向量求二面角的两种常用方法 对点训练3(2022新高考,19)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,A1BC的面积为2 .(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.(2)连接AB1交A1B于点E,如图.AA1=AB,AB1A1B.又平面A1BC平面ABB1A1,平面A1BC平面ABB1A1=A1B,AB1平面A1BC.又BC平面A1BC,BCAB1,又BCBB1,AB1,BB1平面ABB1A1,且AB1BB1=B1,BC平面ABB1A1,BCAB,BCA1B.点A(0,2,0),B(0,0,0),D(1,1,1),E(0,1,1).
