《适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量第四节直线平面垂直的判定与性质课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量第四节直线平面垂直的判定与性质课件（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节直线、平面垂直的判定与性质第四节直线、平面垂直的判定与性质第八章第八章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系,并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.1.空间中垂直关系的判定2.线面垂直的判定与性质3.面面垂直的判定与性质4.平行、垂直关系的综合问题直观想象逻辑推理强强基础基础 增增分策略分策略知识梳理1.直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与
2、平面互相垂直,记作l.直线l叫做平面的,平面叫做直线l的.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.与“所有直线”是同义的,但与“无数条”不同 垂线 垂面(2)判定定理与性质定理 平行 a 微思考空间中任意一直线m,在平面内是否存在无数条直线与m垂直?提示 存在,如图.2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)判定定理与性质定理 垂线 b 微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.微思考若平面,且=l,若直线ml,则
3、m与平面一定垂直吗?提示 不一定.当m时,m.常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)已知直线a,b,c,若ab,bc,则ac.()(2)设m,n是两条不同的直线,是一个平面,若mn,m,则n.()(3)若两平面垂直,则其中
4、一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.()2.(2022山东烟台三模)若a和分别为空间中的直线和平面,则“a”是“a垂直内无数条直线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 解析 若a,则a垂直内所有直线,因此,命题“若a,则a垂直内无数条直线”正确.a垂直内无数条直线,若这无数条直线中无任何两条直线相交,此时直线a可以在平面内,即不能推出a,所以“a”是“a垂直内无数条直线”的充分不必要条件.3.已知直线a和平面,若,a,则a与的位置关系为.答案a或a解析 当a且a垂直于,的交线时,
5、满足已知条件;当a时也满足已知条件增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一空空间中垂直关系的判定中垂直关系的判定典例突破例1.(1)(多选)已知a,b表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,下列说法正确的是()A.若a,b,则abB.若a,b,ab,则C.若a,ab,则bD.若=a,ab,则b或b(2)(多选)(2022湖南怀化模拟)如图所示,已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD拼接而成,将ACD绕AC边旋转的过程中,下列结论可能成立的是()A.CDABB.BCADC.BDABD.BCCD答案 (1)ABD(2)ACD 解析(1)对于A,若a,
6、则a.又b,所以ab,故A正确;对于B,若a,ab,则b或b,所以存在直线m,使得mb.又b,所以m,所以.故B正确;对于C,若a,ab,则b或b.又,所以b或b,故C错误;对于D,若=a,ab,则b或b,故D正确.故选ABD.(2)当将ACD绕AC边旋转到CDBC时,因为CDAC,ACBC=C,此时CD平面ABC,而AB,BC平面ABC,则CDAB,CDBC,A,D正确;此时AB平面BCD,DB平面BCD,所以ABDB,C正确;若BCAD,而ABBC,ABAD=A,故必有BC平面ABD,由图形可知,D点在B点正上方,而CDBC,所以显然BCAD不可能.故选ACD.方法总结 对点训练1下列说法
7、中错误的是()A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面答案 D 解析如图1所示,在正方体中,平面APCF平面PBDC,AF平面PBDC,故A正确;如果平面内存在直线垂直于平面,则平面垂直于平面,故B正确;如图2所示,在平面内取一点Q,作QMCP,QNCD,因为平面平面,平面平面,所以QM平面,QN平面.又因为=l,所以QMl,QNl.又QMQN=Q,则l平面,故C正确;图1 图2 考点二考点二线面垂直的判定与性面垂直的判定与性质典例突
8、破例2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,PAAC=A,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.E是PC的中点,AEPC.由(1)知,AECD,且PCCD=C,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PAAB.又ABAD,且PAAD=A,AB平面PAD,而PD平面PAD,ABPD.又ABAE=A,
9、PD平面ABE.方法总结证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用,其思维流程为:对点训练2(2022黑龙江哈尔滨九中三模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=4,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=3,M为棱A1B1的中点.(1)求证:C1MB1D;(2)求三棱锥A1-DEB1的体积.(1)证明A1C1=B1C1,MA1=MB1,C1MA1B1.CC1平面A1B1C1,C1M平面A1B1C1,CC1C1M.BB1CC1,BB1C1M.BB1A1B1=B1,BB1,A1B1平面ABB
10、1A1,C1M平面AA1B1B,又B1D平面ABB1A1,C1MB1D.(2)解CC1平面ABC,BC平面ABC,CC1BC.又BCAC,ACCC1=C,BC平面ACC1A1.考点三考点三面面垂直的判定与性面面垂直的判定与性质典例突破例3.如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OACD;(2)若OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45,求三棱锥A-BCD的体积.(1)证明在ABD中,AB=AD,O为BD的中点,AOBD.平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AO平面ABD,AO平
11、面BCD.CD平面BCD,AOCD.(2)如图,过点E作ENAO交BD于N,过点N作NMCD交BC于M.AO平面BCD,ENAO,EN平面BCD.ENBC.在BCD中,OB=OD=OC=1,BCD=90,即DCBC.NMCD,NMBC.又ENNM=N,BC平面EMN,BCME.二面角E-BC-D的平面角是EMN=45,即EMN是等腰直角三角形.方法总结利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法 对点训练3(2022全国乙,文18)如图,四面体ABCD中,ADCD,AD=CD,ADB=BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED平面ACD;(2)设AB=BD=2,ACB=60,点F在BD上,
12、当AFC的面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积.(1)证明AD=CD,ADB=BDC,BD=BD,ABDCBD.AB=BC.又E为AC的中点,BEAC.AD=CD,且E为AC的中点,DEAC.又DEBE=E,AC平面BED.AC平面ACD,平面BED平面ACD.考点四考点四平行、垂直关系的平行、垂直关系的综合合问题典例突破例4.(2022北京潞河中学三模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1底面ABC,ACAB,AC=AB=AA1=2,AA1B1=60,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.(1)求证:ACAE;(2)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;(3)在直线AA1上是否存
13、在一点P,使得CP平面AEF?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.(1)证明三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1底面ABC,ACAB,又因为侧面ABB1A1底面ABC=AB,AC底面ABC,所以AC平面ABB1A1.又因为AE平面ABB1A1,所以ACAE.(2)解连接AB1,因为A1B1=AB,AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.又因为AA1B1=60,所以AA1B1是边长为2的正三角形.因为E是棱A1B1的中点,所以AEA1B1.又因为AEAC,A1C1AC,所以AEA1C1.因为A1C1A1B1=A1,A1C1,A1B1底面A1B1C1,所以AE底面A1B1C1
14、.所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为(3)解在直线AA1上存在点P,使得CP平面AEF.证明如下:连接BE并延长,与AA1的延长线相交,设交点为P,连接CP.因为BB1AA1,所以A1PEB1BE,由于E为棱A1B1的中点,所以EA1=EB1,故有PE=EB.又F为棱BC的中点,故EF为BCP的中位线,所以EFCP.又EF平面AEF,CP平面AEF,所以CP平面AEF,故在直线AA1上存在点P,使得CP平面AEF.此时A1P=BB1=2,AP=2AA1=4.名师点析立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系的两种转化 对点训练4(2022山西太原模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面AB
15、CD是梯形,ABCD,ABAD,AB=AD=2CD=2,APD为等边三角形,E为棱PB的中点.(1)证明:直线CE平面PAD;(2)当PB的长为多少时,平面PAD平面ABCD?请说明理由,并求出此时点E到平面PCD的距离.(1)证明如图所示,取线段PA的中点F,连接EF,FD,因为E为棱PB的中点,则EF为PAB的中位线,所以EFCD,且EF=CD,所以四边形CEFD为平行四边形,所以CEDF,因为DF平面PAD,CE平面PAD,所以CE平面PAD.又因为ABAD,ADPA=A,PA平面PAD,AD平面PAD,所以AB平面PAD.又AB平面ABCD,所以平面PAD平面ABCD.因为E为棱PB的中点,所以E到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离的一半.因为AB平面PAD,ABCD,所以CD平面PAD,所以CDPD.因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD.设点B到平面PCD的距离为h,
