《考研数学二13年真题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学二13年真题.doc（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013年考研数学二真题及答案一、选择题 18小题每小题4分，共32分设，当时， （ ）（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小（C）与同阶但不等价无穷小 （D）与等价无穷小2已知是由方程确定，则（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2设，则（ ）（）为的跳跃间断点 （）为的可去间断点（）在连续但不可导 （）在可导设函数，且反常积分收敛，则（ ）（A） （B） （C） （D）设函数，其中可微，则（ ）（A） （B）（C） （D）6设是圆域的第象限的部分，记，则（ ）（A） （B） （C） （D）7设，均为阶矩阵，若，且可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的
2、列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价8矩阵与矩阵相似的充分必要条件是（A） （B），为任意常数（C） （D），为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 10设函数，则的反函数在处的导数 11设封闭曲线L的极坐标方程为为参数，则L所围成的平面图形的面积为 12曲线上对应于处的法线方程为 13已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足方程的解为 14设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则= 三、解答题15（本题满分10分）当时，与是等价无穷小，求
3、常数16（本题满分10分）设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值17（本题满分10分）设平面区域D是由曲线所围成，求18（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（1）存在，使得；（2）存在，使得19（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离20（本题满分11）设函数求的最小值；设数列满足，证明极限存在，并求此极限21（本题满分11）设曲线L的方程为（1）求L的弧长（2）设D是由曲线L，直线及轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标22本题满分11分）设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C23（本
4、题满分11分）设二次型记（1）证明二次型对应的矩阵为 ；（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为 一.选择1.【详解】显然当时，故应该选（C）2. 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义【详解】将代入方程得，在方程两边求导，得，代入，知，故应该选（A）3. 【详解】只要注意是函数的跳跃间断点，则应该是连续点，但不可导应选（）4.【详解】，其中当且仅当时才收敛；而第二个反常积分，当且仅当才收敛从而仅当时，反常积分才收敛，故应选（）5. 【详解】应该选（A）6. 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知所以，应该选（B）7. 【详解】把矩阵A，C列分块如下：，由于，则可
5、知，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示同时由于B可逆，即，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价应该选（B）8. 【详解】注意矩阵是对角矩阵，所以矩阵A=与矩阵相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等从而可知，即，为任意常数，故选择（B）二.填空9.【详解】10. 【详解】由反函数的求导法则可知11. 【详解】所以答案为12. 【详解】当时，所以法线方程为，也就是13. 【详解】显然和是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为，其中为任意常数把初始条件代入可得，所以答案为14.
6、【详解】由条件可知，其中为A的伴随矩阵，从而可知，所以可能为或0但由结论可知，可知,伴随矩阵的秩只能为3，所以三.解答题15. 【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式【详解】当时，所以，由于与是等价无穷小，所以16. 【详解】由微元法可知；由条件，知17. 【详解】18. 【详解】证明：（1）由于为奇函数，则，由于在上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在，使得（2）由于为奇函数，则为偶函数，由（1）可知存在，使得，且，令，由条件显然可知在上可导，且，由罗尔定理可知，存在，使得即19. 【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法【详解】构造函数令，得唯一驻点，即考虑边界上的点，；距离函
7、数在三点的取值分别为，所以最长距离为，最短距离为120. 【详解】（1），令，得唯驻点，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增所以函数在处取得最小值（2）证明：由于，但，所以，故数列单调递增又由于，得到，数列有界由单调有界收敛定理可知极限存在令，则，由（1）的结论可知21. 【详解】（1）曲线的弧微分为，所以弧长为（2）设形心坐标为，则22. 【详解】显然由可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵设，则变形为，即得到线性方程组，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，所以，当时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得此时，所以方程组的通解为，也就是满足的矩阵C为，其中为任意常数23. 【详解】证明：（1）所以二次型对应的矩阵为 证明（2）设，由于则，所以为矩阵对应特征值的特征向量；，所以为矩阵对应特征值的特征向量；而矩阵A的秩，所以也是矩阵的一个特征值故在正交变换下的标准形为 17
