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1、高三数学专题复习专题25：概率【复习要点】本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化.主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维.【例题】【例1】 已知甲、乙两名篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.8 （1）如果每人各投篮一次，求甲、乙两人中至少一人进球的概率； （2）如果两人比赛，各投篮2次，求甲战胜乙的概率解：设甲、乙两名篮球运动员投篮进球分别记为事件，则为独立事件 （1） 或
2、（2）甲战胜乙有1比0、2比0、2比1三种情形， 【例2】 排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率都相等且分别为和.（1）前2局中B队以2:0领先，求最后A、B队各自获胜的概率；（2）B队以3:2获胜的概率解：（1）设最后A获胜的概率为设最后B获胜的概率为 （2）设B队以3:2获胜的概率为【例3】 如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、
3、P2.解：记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C，由已知条件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90.(1)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N1正常工作的概率为0.648(2)系统N2正常工作的概率P2=P(A)1P()=P(A)1P()P()=0.801(10.90)(10.90)=0.792故系统N2正常工作的概率为0.792【例4】 有A、B两个箱子，A箱中有6张相同的卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；B箱中有7张相同的卡片，其中四张写有0，一张写有1，两张
4、写有2，现从A箱中任取1张，从B箱中任取2张，共3张卡片。求：（1）3张卡片都写有0的概率；（2）3张卡片中数字之积为0的概率。解：（1）（2）【例5】 袋里装有35个球，每个球上都标有从1到35的一个号码，设号码n的球重（克）这些球以等可能性（不受重量的影响）从袋里取出（1）如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果同时任意取出二球，试求它们重量相同的概率解：（1）由不等式得n15，n3，由题意知n1，2，或n16，17，35于是所求概率为（2）设第n号与第m号的两个球的重量相等，其中nm，则有，所以，因为nm，所以nm15，（n，m）（1，14），（2，13），（7，8），但
5、从35个球中任取两个的方法数为，故所求概率为【例6】 已知：有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（）事件A：指定的4个房间各有1人；（）事件B：恰有4个房间各有1人；（）事件C：指定的某个房间有2人。解：由于每人可进住任1房间，进住哪间房是等可能的，每人都有6种等可能的方法，根据乘法原理，4人进住6个房间共有64种方法 （1）指定的4个房间各有1人，有种方法， （2）从6间中选出4间有种方法，4个人每人去1间有种方法， （3）从4人中选2个人去指定的某个房间，共有种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任1间,因而有52种种方法。【例7】
6、 一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m（0m1如图，有如下三种联接方法： （1）分别求出这三种电路各自接通的概率；（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.解：（1）三种电路各自接通分别记为事件A1、A2、A3，则P（A1）=m3P（A2）=1（1m）3=3m3m2+m3P（A3）=2（1m）m2+m3=2m2m3（2）P（A2）P（A1）=3m3m2=3m（1m） 0m1 P（A2）P（A1）P（A2）P（A3）=2m35m2+3m=m（2m3）（m1）0 P（A2）P（A3）三个电子元件并联接通的概率最大，故性能最优【例8】 某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产
7、品均需检验合格后方可出厂质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格已知某盒A产品中有2件次品（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率解：(1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为种，其中次品数不超过1件有种，被检验认为是合格的概率为(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验， 因两次检验得出该盒产品合格的概率均为， 故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概
8、率为【例9】 某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：ACD算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN. 因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线ACDB中遇到堵车的概率P1为=11P（AC）1P（CD）1P（DB）=1；同理：路线ACFB中
9、遇到堵车的概率P2为1P（路线AEFB中遇到堵车的概率P3为1P（显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线ACFB，可使得途中发生堵车事件的概率最小.（2）路线ACFB中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3.答：路线ACFB中遇到堵车次数的数学期望为【例10】 某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布列如下：12312P设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费用100元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？解：设x为月初电器商购进的冰箱台数，只
10、须考虑1x12的情况，设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量的函数且y=,电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为：Ey=300x(Px+Px+1+P12)+300100(x1)P1+2300100(x2)P2+300(x1)100Px1=300x(12x+1)+ 300=(2x2+38x)由于xN,故可求出当x=9或x=10时，也即电器商月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.【例11】 袋中装有3个白球和4个黑球，现从袋中任取3个球，设为所取出的3个球中白球的个数（I）求的概率分布；（II）求E解：（I）的可能取值为0，1，2，3. P（0）；P（1）；P（2）；P（3）. 的分布列为：
11、0123P（II）E0123. 【例12】 甲，乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环。他们的这次成绩画成频率直方分布图如下： 击中频率 击中频率0.30.20.150.350.27 8 9 10 击中环数 7 8 9 10 击中环数甲 乙（1）根据这次比赛的成绩频率直方分布图推断乙击中8环的概率，以及求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；（2）根据这次比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.解（1）由图可知，所以=10.20.20.35=0.25 同理， ，所以因为 所以甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率P
12、=0.650.55=0.3575(2) 因为=70.2+80.15+90.3+100.35=8.8=70.2+80.25+90.2+100.35=8.7 所以估计甲的水平更高. 【例13】 有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下：10，154 30，359 15，205 35，408 20，2510 40，453 25，3011(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.解：(1)由所给数据，计算得如下频率分布表数据段10,1515,2020,2525,3030,3535,4040,45总计频数45101198350频率0.080.100.
13、200.220.180.160.061累积频率0.080.180.380.600.780.941(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下：【概率练习】一、选择题1、甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )2、已知随机变量的分布列为：P(=k)=,k=1,2,3,则P(3+5)等于( )A.6 B.9 C.3 D.4二、填空题3、1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数的期望E=_.4、某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_.三、解答题5、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率.6、已知连续型随机变量的概率密度函数f(x)=(1)求常数a的值，并画出的概率密度曲线；
