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1、圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】1熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。2掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；3灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。【热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为
2、一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式D0。2.解题时所使用的数学思想方法。（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图
3、形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。【题型分析】1. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点在原点，准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）A BCD解：由已知可得抛物线的准线为直线， 方程为；由
4、双曲线可知， ， ， ，2椭圆（）的两个焦点分别为、，以、为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为 （ B ） A B C D解析：设点为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，由平面几何知识可得，所以由椭圆的定义及得：，故选B 变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率3. （09浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( )A B C D【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，因此答案：C4. （09江西理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率
5、为（ ） A B C D 【解析】因为，再由有从而可得，故选B5.（08陕西理）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABCD6.（08浙江理）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（D） （A）3 （B）5 （C） （D）7.（08全国一理）在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 8.（10辽宁文）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个
6、焦点为 一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：， ，解得.9.（10全国卷1理）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2，则C的离心率为_解析：答案：如图，设椭圆的标准方程为1(ab0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，即，解得，D(，)由D在椭圆上得：1， ，e. 【解析1】如图，, 作轴于点D1,则由，得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得【解析2】设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，代入，10. （07全国2理）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ B ）
7、 ABCD解11. 椭圆的左焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点且F分向量BA的比为2/3，椭圆的离心率e为: 。本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单，运算繁琐。下面介绍两种简单解法。解法（一）：设点A，B，由焦半径公式可得，则，变形，所以因为直线倾斜角为，所以有，所以提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。解法（二）： 12. （10辽宁理）
8、(20)（本小题满分12分）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.椭圆C的离心率 ；解：设，由题意知0，0.（）直线l的方程为 ，其中.联立得解得 因为，所以.即 得离心率 . 6分13. A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使OPA=,则椭圆离心率的范围是_.解析：设椭圆方程为=1(ab0),以OA为直径的圆：x2ax+y2=0,两式联立消y得x2ax+b2=0.即e2x2ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2=a,0x2a，即0aae1.答案：e114. 在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，椭
9、圆的离心率的取值范围是; 解析: 由椭圆的定义，可得 又，所以是方程的两根，由， 可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是15. （08湖南）若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+)解析 由题意可知即解得故选B. 16.（07北京）椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）解析 由题意得故选D. 17.（07湖南）设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD.分析 通过题设条件可得，求离
10、心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？解析：线段的中垂线过点， ，又点P在右准线上，即，故选D.点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.18. （08福建理）双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B）A.(1,3)B.C.(3,+)D.分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断解析：|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=|PF2|=，|PF2|即所以双曲线离心率的取值范围
11、为，故选B.解2 如图2所示，设，.当点P在右顶点处有.，.选B.小结 本题通过设角和利用余弦定理，将双曲线的离心率用三角函数的形式表示出来，通过求角的余弦值的范围，从而求得离心率的范围.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于）则可建立不等关系使问题迎刃而解. 19.（08江西理）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A B C D解 据题意可知，M是直角，则垂足M的轨迹是以焦距为直径的圆.所以.又，所以.选C.小结 本题是最常见的求离心率范围的问题，其方法就是根据已知条件，直接列出关于 a，b，c
12、间的不等量关系，然后利用a，b，c间的平方关系化为关于a，c的齐次不等式，除以即为关于离心率e的一元二次不等式，解不等式，再结合椭圆或双曲线的离心率的范围，就得到了离心率的取值范围.20. （04重庆）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：( )A B C D |PF1|=4PF2|,|PF1|-|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.21. 已知，分别为的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A B C D解析 ，欲使最小值为，需右支上存在一点P，使，而即
13、所以.22. 已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，椭圆的离心率e的取值范围是; 。 解：设P点坐标为（）,则有消去得若利用求根公式求运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知由得23. 椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围 ；解析 设将代入得 求得 .点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.24. （06福建）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）解析 欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，即即即故选C.25. （04全国）设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围： 解析 由C与相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 所以解得双曲线的离心率：所以双曲线的离心率取值范围是总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总
