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1、探究性习题课中学习行为的研究上海市普陀区教育学院 叶锦义上海市民办梅陇中学 李 贞华东师范大学数学系黄荣金 一、背景 1数学新课程呼唤新的训练体系 “二期课改”中，数学新课程强调“加强基础、促进发展、激励创新、重视实践”，并且以“改变学习方式”为基本特征。由于在升学应试的压力下，传统的数学课程训练系统中，标准题、封闭题、技能操练题占据主导性的统治地位。这样的训练体系无法适应二期课改的要求。 上海市普通中小学课程方案指明要“通过改进各学科的学习训练方式，逐步建立有利于促进学生综合发展的学习体系”，要求“充分关注学习训练方式对学生创新精神和实践能力的促进作用；重视学习训练体系中的开放性、实践性、研
2、究性、应用性和综合性；加强信息技术的支持作用，逐步建立与基础教育现代化相适应的学习训练支持平台”。新的上海市中小学数学课程标准中具体要求“建立合理的数学训练系统”，“要充实具有实践性、应用性、探索性和开放性的数学习题，使发展性训练与基础性训练协调互补”。我们认识到，不论古今中外哪一种形态的数学课程，总是有一套与它相匹配的数学训练系统，这套训练系统是为该数学课程的目标服务的。因此，现今上海新的中小学教学课程就必然呼唤一套与它相匹配的新的训练体系。2新的数学训练体系呼唤新“题型” 数学教育必须使学生获得为适应未来社会生活所必需的数学基本能力，数学不再只是升学的需要，更是生存与发展的需要，成为21世
3、纪合格公民的应有素养。因此数学训练不能只关注学生对知识的理解和巩固，对技能的掌握、对常规问题的解决，还应重视培养学生善于用学过的知识去观察、解释、表述身边事物的数量关系、变化趋势、空间形式、数据信息，去解决日常生活、实际情境乃至跨学科中的有关问题；会用基本的数学语言进行表达与交流等。数学习题的配置应反映这方面的要求。 其次，还应含有与原来单纯的推导、计算、演绎很不相同的训练，要求增加操作实践，要求引入预感试验、尝试归纳、猜想、类比等非形式推理的问题。再次，要为学生自主实践和增长创造性活动经验拓宽学习渠道，要为学生创造、发展创设环境和机会，这也要求数学训练中应含有非形式推理、开放性问题等，让学生
4、去探索、解决。3新题型的研究呼唤对学生学习行为的研究由于新的学习训练系统需要引入一定数量的实验操作题、探索题、开放题等新题型，这些题型在现有教材中基本上是空白的，而在以后根据新的课程标准编写新数学教材中将整合进新的训练系统。目前，学生对这种题型感到陌生，在学习行为上，与传统习题必然存在差异。在学习实验操作题、探索题、开放题时，学生究竟有哪些有别于传统习题训练时所产生的学习行为？从学生的视角观察，他们是如何看待这些“新题目”的？有什么体验？我们认为，对这些问题的研究对于我们合理构建数学学习训练系统，发挥训练系统的教育功能，达到培养学生创新精神和实践能力的课程目标是十分重要的。 二、研究方法 1研
5、究载体的确定为了对学生在学习实验操作题、探索题、开放题时学习行为进行研究，我们构思了一节探究性习题课。这节课分成两部分：前面一部分是常规传统习题，两个小题，约12分钟左右完成；后面一部分是两个有自然联系的实验操作题，约30分钟。显然，课的重心在后面的实验操作题上。我们仍把传统的常规题放入本课中是基于以下两方面的认识： 当今在数学训练上的一些弊病是大量的题海训练（往往是过多的常规传统习题的“恶补”）所造成的。传统常规习题与新题型应该是互补互促、相辅相成、不能排斥任何一种习题题型，这是全面达成数学训练目标所必需的。要研究学生学习新题型的学习行为，需要以传统的常规习题的学习行为相对照。我们在设计问题
6、时，两种题型都是应用相似三角形知识而且在图形方面都选择了直角三角形，使问题的研究只集中到题型要求的差异方面。由于现教材缺少实验操作题、探索题、开放题、等新题型，因此学生平时这类新题型几乎没有什么训练。这样，学生在这类习题的学习行为更具有原始性、真实性。 2深度访谈此外，为深入了解学生对解决两类问题思维过程及解题行为，我们在上完第三轮课后，由任课教师和班主任选出数学成绩上、中、下的学生分别2名、6名和2名 这10名被访学生依次记S1，S2，和S10.， 共10位学生接受了课后的深度访谈。先是让学生集体观看课堂教学录象，然后，给学生一张本节课中探究的四个问题：前两题为常规题目，后两题是非常规探究题
7、，以及一张白纸，供被访学生边画边说。访谈是半结构化的，按预先设计的访谈提纲（见附录）提问学生追记课堂中解决问题时的感受及解题思路。3数据分析本文，以第三次课的教学设计、课堂实录及课后访谈为数据，采用质的分析方法，研究探究性习题课中学生的学习行为。 三、课堂中学习行为的分析 （一）“相似三角形习题课”的教学设计 1教学设计 教学目标（） 熟练运用相似三角形的有关知识解基本题。（） 经历“实验归纳猜测论证”的过程，感受数学发现的一般规律，提高归纳，演绎推理的能力。（） 通过图形的运动、变化，增强对动态图形的想象能力。（） 通过合作交流、自主评价，促进改善学习态度，逐步提高评价能力，逐步形成正确的数
8、学价值观。 教学重点：相似三角形的知识的应用。 教学难点： 实验操作题的解题要领。 教学过程：（1）复习提问：你所知道的有关相似三角形的知识有哪些？ （ 定义、预备定理、判定定理、性质。） （2）运用“相似三角形的知识”解常规习题DBAC问题1：如图，已知直角三角形ABC中，BAC=90，AD为BC边上的高，求证：AB*AD=BD*AC问题2：如图，四边形AEDF是RtABC的内接正方形，D、E、F分别在BC、AB、AC上， A=90，如果BE=a，CF=b，求：正方形AEDF的面积。DFECBA（3）.运用“相似三角形的知识”解非常规题 问题3：在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=
9、AC=6cm，AD BC，垂足为点D。 实验操作：把一三角尺的直角顶点放在点D处，并绕点D旋转，且使二条直角边分别交边BA、CA于点E、F，连结DE、DF，请选取运动过程中的三个瞬间，分别测量出线段AF和BE的长，求出AF：BE的值（精确到0.01），并填入表：AF（cm）BE(cm)AF:BE的值第一次测量第二次测量第三次测量 ADCBADCB 探索：观察实验结果，猜想关于线段AF与BE的关系有何结论，并证明你的猜想。 问：在运动变化过程中，图中还有哪些线段始终保持相等关系的？ 小结：解此类实验操作题的一般步骤是怎样的？CDDCBBAA 问题4：在上题中将“在等腰直角三角形ABC中，BAC=
10、90，AB=AC=6cm”改为“在RtABC中，BAC=90，AC=6cm，AB=8cm”，其它条件不变，问题3中的结论是否改变？如果改变，写出猜测的结论，并加以证明。 问：在运动变化过程中，图中还有哪些线段的比如AF：BE? 小结：问：解此类实验操作题的解题过程中要注意什么？（4）.布置作业FEHDBACa.改变条件：“ADBC于点D”为“过AB上点H 作HDBC于D”其他条件不变，那么问题4中的比例式是否仍成立?如果成立,请证明,如果不成立，请找出图中的比例线段。 b.若改变三角形ABC的形状，其它条件不变，是否结论仍成立，为什么？ (5)小结与自主评价(二)课堂中的问题解决时的学习行为
11、在课堂教学实施过程中，我们特别关注以下几个方面：1解常规习题时的学习行为在复习了相似三角形的有关知识后，教师安排了两道常规习题，由学生完成，下面是解决问题2的部分片段。生：设正方形AEDF的边长为X，根据正方形得到EDAC，C=EDB，DFC=90，BED=90，DFC=BED； DCFBDE， ED/CF=BE/DF， X2=ab。 正方形面积等于边长的平方，它的面积等于ab. 师：很好，有没有其他不同的方法。 生：四边形AEDF为正方形，DEAC，DE/AC=BE/BA，设正方形边长为x，,x2=ab，同样可得面积为ab。 在上述学生的表述中，不难发现，学生解此类常见的、封闭的习题时，依靠
12、的是熟悉的情境、现成的解法和记忆的重现。绝大多数学生读题后立刻投入解题过程，虽然解题方法各有不同，但课堂气氛比较沉闷，没有形成高潮。 2解实验操作题的学习行为 学生通过解第一道实验操作题（问题3），初步体验了实验操作题的解题步骤，在此基础上，将第一道实验操作题进行变式，形成第二道实验操作题（问题4），下面这一片段展示了学生之间交流猜测结论的情形。生1：我们进行了三次操作，三次测试，然后，第一次测试计算得到 BE：AF=1.25，第二次测试计算也是1.25，第三次测试计算为1.21, 我们发现BE：AF的值与AB：AC的值差不多相等，所以我们猜测 BE/AF=AB/AC。 师：非常好，她们小组依
13、照解第一题的方法，通过实验操作找到运动过 程中的三个瞬间，测试并计算出BE：AF的值，猜测BE：AF= AB：AC，这是一种办法，有没有其他的办法？ 生2：我们是根据第一题的条件和得出的结论以及第二题的条件来猜测第二题的结论，因为第一题中ABC是等腰三角形，AC/AB=1，所以AF/BE=1，而现在AC=6，AB=8，所以AC/AB=3/4，所以我们猜测AE/BE=3/4。 师：这一小组找到了两题之间的内在联系，第二小题与第一小题的很 多条件是一致的，只是第一小题是“等腰直角三角形”，而第二小题是“一般的直角三角形”，也就是两直角边的比是3：4的两个三角 形，条件变了，引起结论发生变化，因此她们猜测BE/AF=AB/AC 这两种猜测都比较合理。 生3：我们小组已证出BE/AF=4/3，因为第一小题中，我们通过求证BEDAFD，得到的BE/AF=1，因此我们想到这里可能有BEDAFD。结果通过证明的确有这样的结论，因此我们证出了BE/AF=4/3。 在上述片段中，由几位学生分别上讲台报告他们小组讨论的结果：第一小组仿照第一道实验操作题的解题方法，通过三次测试，猜测结论；第二小组通过寻找两题之间的内在联系，猜测结论；第三小组利用全等三角形是相似三角形的特例，找到了图中的相似三角形，直接证出了结论。这一环节，学生学习的积极性明显上升。 3
