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1、第九章 半角模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形已知如图： 2=AOB；OA=OB。连接FB，将FOB绕点O旋转至FOA的位置，连接FE、FE，可得OEFOEF。模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90含45，120含60。模型实例例1如图，已知正方形ABCD中，MAN=45，它的两边分别交线段CB、DC 于点M、N。（1）求证：BM+DN=MN；（2）作AHMN于点H，求证：AH=AB。例2在等边ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为AB
2、C外一点， 且MDN=60，BDC=60，BD=DC。探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。（1）如图，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；（2）如图，当DMDN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想 并加以证明。例3如图，在四边形ABCD中，B+ADC=180，E、F分别是BC、CD延长 线上的点，且EAF=BAD。求证：EF=BE-FD。热搜精练1如图，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线，MAN=45。 求证：MN=DN-BM。2已知，如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E分别为线段 BC上两动点，
3、若DAE=45。探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量 关系。小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连接ED，使问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB的延长线上时，如图， 其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。3已知，在等边ABC中，点O是边AC、BC 的垂直平分线的交点，M、N 分别在直线AC、BC上，且MON=60。（1）如图，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN 三者
4、之间的数量关系；（2）如图，当CMCN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系。4如图，在四边形ABCD中，B+D=180，AB=AD，E、F分别是线段BC、 CD上的点，且BE+FD=EF。求证：EAF=BAD。5如图，已知四边形ABCD，EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与 CB的延长线交于点E连接EF。（1）若四边形ABCD为正方形，当EAF=45时，EF与DF、BE之间有怎样 的数量关系？（只需直接写出结论）（2）如图，如果四边形ABCD中，AB=AD，ABC与ADC互补，当 EAF=BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明；（3）在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求CEF的周长（直接写出结论即可）。3
