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1、1、均匀带电细线ABCD弯成如图所示的形状， 其线电荷密度为久，试求圆心O处的电势。解：九A两段直线的电势为 V二2 ln214K80九半圆的电势为V二 兀，24K80九O点电势V二（21n2 +兀）4兀&02、有一半径为 a 的半圆环，左半截均匀带有负电 荷，电荷线密度为-久，右半截均匀带有正电荷，电 线密度为久，如图。试求：环心处O点的电场强 度。解：如图，在半圆周上取电荷元 dqdq =九 dl = Xad0dE = 血由对称性4k8 a 2E = E =J dE = f- dE cos 0xx=；丄 COS0d0=-丄 0 2k8 a2k8 a003、一锥顶角为0的圆台，上下底面半径分
2、别为R和R ,在 它的侧面上均匀带电，电荷面密度为求顶点O的电势。（以无穷远处为电势零点）解：以顶点O作坐标原点，圆锥轴线为X轴向下为正. 在任意位置x处取高度为d x的小圆环，其面积为dS = 2兀 rdxcos0tan0xdxcos0其上电量为dq = cdS = 2kcxdxcos0它在 O 点产生的电势为dUdq4耐 v r2 + x 20tan 0 cos0xdxo tan0dx4k8 x 2 tan 2 0 + x 20U = f dU = tan 0 总电势28 ox2e0x2dx =o(R -R )212804、已知一带电细杆，杆长为1,其线电荷密度 为A = cx,其中c为常
3、数。试求距杆右端距离 为 a 的 P 点电势。解：考虑杆上坐标为 x 的一小块 dxdx在P点产生的电势为1九 dxc xdxdU =4k 1 + a x4k 1 + a x求上式的积分:得P点上的电势为c n xdx c1 + a、71U =11二(1 + a )ln() 1 4k 01 + a x4ka005、有一半径为a的非均匀带电的半球面，电荷面密度为o = o cos0,0 o为恒量。试求：球心处O点的电势。0解：上取一圆环，ds = 2兀Rsin9-RdOdq = cds =c2兀 Rsin9 Rd9圆环的电势 dU =_L_4K8 R 0仏 2k R sin 9 Rd9也 -R
4、cos 9 sin 9 d9U = J dU = J 2= 2 004k8 R02806、有一半径为a的非均匀带电的半圆环，电荷线密度为A =A0 COS0, A为恒量。试求：圆心处O点的电势。0c R04807解：在半圆上取电荷元dq.dU =dq4兀8 a0dq =九 d1 =九 ad9yOU =1 dU =1；件cos 9d9-：4K80九02兀807、有宽度为 a 的直长均匀带电薄板，沿长度方向单位长度的 带电量为A，试求：与板的边缘距离为b的一点P处的电场强度（已知电荷线密度为A 的无限长直线的电场强度为）。解：如图，取宽为dx的窄条为研究对象，视为无限长带电直线，电荷线密度为一dx
5、 a由无限长带电直线电场公式dxdE = J2兀 (a + b x)0整个带电薄板的电场强度 dxaE = J dE 二 fao 2兀 (a + b x)2兀 a00九、a + b ln b8、有一瓦楞状直长均匀带电薄板，面电荷密度为o，瓦楞的 半径为a，试求：轴线中部一点P处的电场强度。(已知电 线密度为久的无限长直线的电场强度为E二一 )2兀 r0解：如图，顶视图，取宽为dl的窄条为对象，视为无限长带电直线，电荷线密度为2 = cdl = cadOcdOdE2兀E = J dE =J dE cos OLP圆荷=cdO2兀cosO=0dE=-J dE sin O=cdO2KsinO兀09、电
6、荷以相同的面密度a分布在半径分别为R =10 cm和R2= 20 cm两个同心球面上。设无限远处电势为零, 球心处的电势为V0= 300 V。(1)求电荷面密度o； (2)若要使球心处的电势也为零，外球面上的电荷面密度o应为多少？ ( 。= 8.85X10-12 C2N-im-2) 解：(1)U10q1 -4兀 R1204兀 Rxxqq cU 二 U + U 二 i +2 二(R + R )010204K8R4K8R81212U8c =0(R + R )122) 0=8.85 x 10 - 9 c / m 210、如图，长直圆柱面半径为R,单位长度带电为A 计算圆柱面内外的电场强度。- Y q
7、解：.讨 E - ds = L80(0 r R )E = 0九E 二一2兀8 r试用高斯定理11、电荷 Q 均匀分布在长为 l 的细杆 AB 上， P 点位 于AB的延长线上，且与B相距为d,求P点的电场 强度。解:1 九 dxdE 二一4兀8 x 2ABPE亠d二乂 (丄-丄)4兀8 x 2 4兀8l d d +112、电荷 Q 均匀分布在长为 l 的细杆 AB 上， P 点 位于AB的延长线上，且与B相距为d,求P点的 电势。ABP解：dq 二 Qdx1dUdq4兀8 x0d+1 dq Q i d +1 U = Jd+1二 Ind 4兀8 x4兀8 1 d0013、电荷 Q 均匀分布在半径
8、为 R 的半圆周上，求曲率中心 O 处 的电场强度。解：如图，在圆周上取电荷元 dqdq =九 dl =Rd0 = d0兀R兀dE =丄色4k8 R 20 由对称性，E = 0yE = E =J dE =J dE cos 0 = fxx4k8 R 20cos 0=f 2 - cos0 d0 =_工 4K8 兀R 22兀 2& R 22 0 014、用细的绝缘棒弯成半径为R的圆弧，该圆弧对圆心所张的 角为2a，总电荷q沿棒均匀分布，求圆心处的电场强度。解：如图，在圆弧上取电荷元dqdq =九 dl = Rd0 = d0R 2a2adE =吆4k8 R 20由对称性，E = 0yE = E =f
9、dExx=f dE cos 0 = f4K8=fa -q_ cos 0 d0_a 4k8 2R 2a0sin a4k8 R 2a015、求均匀带电圆环轴线上任一点P处的电场强度(圆环半径为R，带电量为Q)解:在圆环上任取电荷兀dq,由对称性知，f dE = 0丄则 dE = dq4K8 R 2 + x 20dqX4K8 R 2 + x 201 Qx断开电源，求1、一平板电容器的电容为1X10-11F,充电到带电荷为1.0X10-8C 后, 极板间的电压及电场能量。解：U=Q/C=1000VW=Q2/2C= 5.0X10-6J2、点电荷带电q，位于一个内外半径分别为R、的金属球壳的球心,如图，
10、P 为金属球壳内的一点，求：（1）金属球壳内表面和外表面 的感应电荷；（2） P点的电场强度大小和P点的电势。解：（1）内表面感应电荷-q，外表面感应电荷 qq（2）E=0V 二4耐R023、圆柱形电容器，长度为L半径分别为R1和R2,二柱面间充满相对介电常数 为的均匀介质。设电容器充电后，两极板单位长度上带电量分别为+久和-儿求: r（1）（2）（3）解：两极板间的电场强度 圆柱形电容器的电容 它储有的电能。（1）由高斯定理，柱形电容器极板间电场强度为E=-2冗 rr0九 R(2)极板间电势差 AV J Edr= ln-r,1ln2K r0-C Q 2k L .C =-AV(3)We =吳l
11、n RT1入 2 L ln RT14冗 r04、如图，半径为R0的金属球，带电Q,球外有一层均匀电介质的 同心球壳，其内外半径分别为R1和R2，相对介电常数为r，P为 介质中的一点，离球心为r。（1）试用高斯定理求P点的电场强度E ；（2）由E求P点的电势V。解：由高斯定理，作半径为r的球形高斯面D = -Q-4兀r 2P点的电场强度大小E = D =方向径向向外4兀 r 20r（2）由以上结论介质中E4兀 r 20r真空中E=4兀 r 2 0 P点的电势U = f R2 E dr + fs Edr =fRrRr 4k r220 r-Q (11 ) Q 14k r R 4k R0 r202dr
12、 + QsdrR 4k r 2205、金属球半径为R,带电q1 ,外有一同心金属球壳，半径分别为R2、 R3 ,金属球壳带电q2，求金属球和球壳之间一点P的电势。由静电感应，球壳内表面带电-q ,外表面带电q + q1 1 2 利用迭加原理，P点的电势u=丄必-红+q+码4 脫 r R R R0233Td亠16、如图所示，平板电容器(极板面积为S,间距为d)中间有两层厚度各为d1和d2、电容率各为1和2的电解质,算其电容。 解：|j D - dS =ff D -dS + ffD -dS + ffD -dS=DS试计d2SD =b,下b，282bbV -V=d + d a b 8 1 8 2 12 bs8 8 SC =1-2 V -Vd 8 + d 8a b 1 2 217、如图球形电容器，内外半径分别为R1和R2,二球面间充满相 对介电常 数为的均匀介质，当该电容器充电量为Q时，求:_ 亠T(1)介质内D,E的大小；(2)内外球壳之间的电势差AU ； (3) 球形电容器的电容C； (4)它储有的电能We。解：由高斯定理，作半径
