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1、第二章 解析函数1解析函数的概念与柯西-黎曼方程教学目的与要求: 了解复变函数的导数与微分; 掌握复变函数解析的充要条件; 理解柯西-黎曼条件.重点：函数解析的概念与柯西-黎曼方程.难点：函数在一点解析的概念.课时：2学时.复变函数的导数与微分定义2.1 设函数在点的邻域内（或含的区域内）有定义，若极限（）（2.1）存在，则称此极限为函数在点的导数，记为，这时也称在点可导定义2.2 若函数在点可导，则称为函数在点的微分，记为或即（2.2）此时也称在点可微特别地，当时，于是（2.2）变为即由此可见，在复变函数中，在点可导与在点可微是等价的函数由在点可导与可微的概念与数学分析中的可导与可微这两个概
2、念相类似，因此数学分析中求导基本公式，均可类似地推广到复变函数中来同时，与数学分析中一样，函数在点可微，则在点连续，反之不一定成立，但在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得例2.1 在平面上处处不可微证明：由第一章习题11，知在平面上处处连续，但对于任意一点当取实数趋于零时，上述极限为，而当取纯虚数趋于零时，上述极限为，因此上述极限不存在，即在点不可导，由的任意性知在点平面上处处不可微如果函数在区域内每一点都可微，则称在区域内可微例2.2 （为正整数）在平面上可微，且即解析函数及其简单性质定义2.3 若函数在区域内可微
3、，则称为区域内的解析函数（或全纯函数、正则函数）此时也称在区域内解析解析函数是复变函数论研究的主要对象，它与相伴区域密切相关以后说到在某点解析则表示在该点的某一邻域内解析，说在闭域上解析，则表示在包含的某个区域内解析因而解析这个概念要比可微的概念条件要强得多与数学分析一样，解析函数也有如下基本性质：（）若在区域内解析，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母在内不为零）也在内解析，且（）（复合函数求导法则）设在区域内解析，在区域内解析，若均有，则在内解析，且例2.3 设多项式，则由例2.2及基本性质（）知，在平面上解析，且例2.4 设，则由例2.2及基本性质（）知有对于参数方程，则可直接由定义
4、2.1求得柯西（）黎曼（）条件（简称条件）设下面我们来探讨的可微性与二元实函数及之间存在的关系若在点可微，且设（2.3）又设，其中则（2.3）变为（2.4）由于当不论按什么方向趋于零时，（2.4）式总是成立，因此我们可以先设，即点沿着平行于实轴的方向趋于点（图），图2.1则此时（2.4）变为由此即知均存在，且有（2.5）同理，设，即点沿着平于虚轴的方向趋于点（图），此时（2.4）变为故亦都存在，且有（2.6）由（2.5），（2.6）及复数相等性质可得，（2.7）（2.7）称为柯西黎曼条件或柯西黎曼方程，简称为条件总结上述讨论，即得：定理2.1 （可微的必要条件）设函数在区域内有定义，且在内一点
5、可微，则有（）在点处偏导数都存在；（），在点满足条件，但定理2.1的逆不成立例2.5 函数在满足定理2.1的条件，在不可微证明但是由于因此当沿着射线随着时，它是一个与有关的值，故不存在，即在不可微，但是，只要适当加强定理2.1的条件，就可得到定理2.2 设在区域内有定义，则在内一点可微（或在内解析）的充要条件是：（），在点（或在内）可微；（），在点（或在内）满足条件当上述条件满足时，有(2.8)例2.6 讨论的解析性解：只在处满足条件，故只在可微，因此在平面上处处不解析例2.7 试证在平面上处处解析，且证明：，在平面上处处可微，且满足条件，故由定理2.2知在平面上处处解析且由公式（2.8）知作
6、业: 第90页 2, 3, 4(1) (3) 5(2) (4), 6(1) (3)初等解析函数教学目的与要求: 掌握指数函数与三角函数的性质,掌握它们与数学分析中的指数函数与三角函数的性质的异同点.重点：指数函数与三角函数的性质与数学分析中的指数函数与三角函数的性质的异同点.难点：指数函数与三角函数的性质.课时：2学时. 指数函数定义2.3 对于任意复数，则规定（2.9）为复指数函数复指数函数具有以下基本性质：(1) 当（为实数）时，则即为通常的实指数函数(2) （故），(3) 在平面上解析，且（例2.7）(4) 加法定理成立，即(5) 以为基本周期因为对任意整数，(6) 不存在因为当沿实轴趋
7、于时，当沿实轴趋于时，在关系式(2.9)中，当时就得到欧拉公式即(2.9)是欧拉公式的推广三角函数由(2.9)式，当时，有从而有据此，我们给出复三角函数的定义如下：定义2.4 规定为复数的正弦函数和余弦函数容易验证，这种定义的正弦和余弦函数具有如下性质：(1) 当为实数时,与通常的实正弦和余弦函数一致(2) 它们都在平面上解析，且(3) 是奇函数，是偶函数，且通常的三角恒等式亦成立，如，等等例如(4) 及均以为基本周期同理可证(5) 的零点（即的根）为（）的零点为（）(6) 在复数域内，不等式不成立例如，取（），则当时，故不成立例2.8 对任意复数，若，则必有（为整数）证明：即有从而或由性质(
8、5)知或故推得（为整数）与实三角函数一样，我们可定义其它的复三角函数：定义2.5 规定，为复数的正切、余切、正割、余割函数这四个函数均在平面上除坟墓为零的点外解析，且正切、余切的基本周期为，正割、余割的基本周期为作业:第91页 7, 9 10 (1) (3), 13 (1)3初等多值解析函数教学目的与要求: 了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质.重点：初等多值解析函数多值产生的原因.难点：支点与单叶性区域的划分；初等多值解析函数多值产生的原因.课时：4学时.定义2.6 设函数在区域内有定义，且对内任意不同的两点及，都有，则称函数在内是单叶的.并且称区域为的单叶性区域.
9、1 根式函数定义 2.7 规定根式函数为幂函数的反函数.（1） 幂函数的变换（映射）性质及其单叶性区域. 幂函数在平面上单值解析，它把扩充平面变成扩充平面，且分别对应于.可是由知道，每一个不为零或的，在平面上有几个原像.且此个点分布在以原点为中心的正角形的顶点上.于是在平面上就是值的.设则成为.由（2）知，（1）把从原点出发的射线变成从原点出发的射线，并把圆周变成.(如图2.2)图2.2当平面上的动射线从射线扫动到射线时，在变换下的像，就在平面上射线扫动到射线，从而，平面上的三角形就被变成平面上的角形. 特别，变换（1）把平面上的角形变成平面除去原点及负实轴的区域.一般地，变换（1）把张度的个
10、角形.都变成平面除去原点及负实轴的区域.下图是的情形. 图2.3区域是（1）的单叶性区域的充要条件是：对于内任一点，满足下面等式的点不属于.即：幂函数的单叶性区域，是顶点在原点，张度不超过的角形区域.（2） 分出的单值解析分支. 设出现多值性的原因是由于确定后，其辐角并不唯一确定.今在平面上从原点到点任意引一条射线（或一条无界简单曲线）.将平面割破.割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域，记为.在内随意指定一点，并指定的一个辐角值，则在内任意的点，皆可根据的辐角，依连续变化而唯一确定的辐角. 设（给定，只有一个与之对应）则是区域上的单值解析函数.事实上，由于与都是连续函数.故也是的连续函数.
11、又解每一个为的一个解析分支.（3）的支点与支割线.定义：设为多值函数，为一定点，作小圆周，若变点沿转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称为的支点，如就是其一个支点，这时绕转一周也可看作绕点转一周，故点也是其一个支点.定义2.8 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线.如可以以负实轴为支割线.附：支割线可以有两岸.单值解析分支可连续延拓到岸上.支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.对，当以负实轴为支割线时，当时取正值的那个分支称为主值支.例2.9 设定义在从原点起沿负实轴，割开了的平面上，且.求的值.解：求：当时，由知.作业：第93页 22 ，23二
12、、对数函数1、定义2.9 方程的根称为的对数，记为. 设 则当时，称为主值（支）.注：区别和.例2.10 2、性质： 证： 注： 三、指数函数的变换性质及其单叶性区域设 由 知 （ ）故变换若即 为单叶性区域若则 故 四分出的单值解析分支设，令（为固定的整数）则在内单值解析.证： 都连续，故连续.显然在内单值连续， 记 它们都在内可微. （极坐标下的条件） 在内解析.这时， ， 五以为支点，连接任一（广义）简单曲线可作为其支割线.（支割线通常是连接支点的简单曲线）.例2.10 设定义在沿负实轴割破的平面上，且（是下岸相应点的函数值）求的值.解： 求值：六、一般幂函数与一般指数函数定义2.10：
13、为一般的幂函数. 一般地说，它是多值函数.并以为支点，又称为一般的指数函数，它是无穷多个独立的单值函数.例2.11 1）求解：2）求解： 七、反三角函数1）反正切：反正切规定为方程的根的全体. 它与对数函数有如下关系：即例2.12 求解：2、反正弦 反正弦规定为方程的全体根，它与对数函数有如下关系： 即（其中表示双值函数）例2.13 求解：3、反余弦 反余弦规定为方程的根的全体.它与对数函数的关系为（其中表双值函数）八、具有有限个支点的情形函数的支点，其中为任意的次多项式.是的一切相异零点.分别是它们的重数，合于有以下结论： （a）、(1)的可能支点为和. （b）、当且仅当不能整除时，是的支点. （c）、当且仅当不能整除时，是的支点. （d）、若能整除中若干个之和，则中对应的几个就可以联结成割线，即变点沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变.例2.14 求的支点；及的支点.解：1）可能的支点是 图 2.4 的终值较初值增加了一个因子是支点.同理是支点.
