《适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量解答题专项4第2课时求空间角课件新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量解答题专项4第2课时求空间角课件新人教A版（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时求空间角考点考点一一 异异面直线所成的角面直线所成的角例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PD=2,点E是PC的中点.(1)求证:BC平面PAD;(2)求直线AC与BE所成角的余弦值.(1)证明因为四边形ABCD为正方形,所以BCAD,因为BC平面PAD,AD平面PAD,所以BC平面PAD.(2)解因为PD平面ABCD,AD,DC平面ABCD,所以PDAD,PDDC,又因为四边形ABCD是正方形,所以ADDC,如图,以D为坐标原点,以直线DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2
2、,2,0),E(0,1,1),对点训练1(2024江苏南京模拟)如图所示,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4,求异面直线AQ与PB所成角的正弦值.解 由题设知,四边形ABCD是正方形,连接AC,BD,交于点O,则ACBD,则OP平面ABCD,OQ平面ABCD,故PQ平面ABCD.以O为坐标原点,以直线CA,DB,QP分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,考点考点二二 直线直线与平面所成的角与平面所成的角例2(2023全国甲,理18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C平面ABC,ACB=90,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1.
3、(1)证明:A1C=AC;(2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)证明A1C底面ABC,BC平面ABC,A1CBC.ACB=90,BCAC.又A1C,AC平面ACC1A1,BC平面ACC1A1.BC平面BCC1B1,平面ACC1A1平面BCC1B1.如图,过点A1作A1OCC1交CC1于点O,又平面ACC1A1平面BCC1B1=CC1,A1O平面BCC1B1.A1到平面BCC1B1的距离为1,A1O=1.(方法二空间向量法)A1C平面ABC,ACB=90,A1C,AC,BC两两垂直.如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系.对点训练2(2022全国甲,
4、理18)在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,CDAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.(1)证明:BDPA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.(1)证明PD平面ABCD,BD平面ABCD,PDBD.取AB的中点E,连接DE.CD=1,BE=AB=1,CDBE,四边形CDEB是平行四边形,DE=CB=1.DE=AB,ABD为直角三角形,AB为斜边,BDAD.PD平面PAD,AD平面PAD,且PDAD=D,BD平面PAD.又PA平面PAD,BDPA.考点考点三三 平面平面与平面的夹角与平面的夹角例3(12分)(2023新高考,18)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中
5、,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2A2D2;突破口:注意到正四棱柱各条棱的长度,可以发现相关棱的中点或四等分点.关键点:题目条件并未明确这两条线共面,不能直接应用.(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150时,求B2P.关键点:建立空间直角坐标系后,根据点P的位置,用一个未知量表示其坐标.审题指导:(1)(思路一)建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,利用向量坐标相等证明.(思路二)作辅助线,结合平行线的传递性,证明多个平行四边形,从而得线线平行.(思路三)选
6、择一组基底,把 都用基底表示,由向量相等证明.(2)建立坐标系,写出相关点的坐标,设出点P的坐标,求出二面角两个半平面的法向量,利用公式建立方程,求解即可.规范解答:(1)证明(方法一向量法)要选取合适的点和线建系 由题意可得A2(2,2,1),B2(0,2,2),C2(0,0,3),D2(2,0,2).此处要确保每个点的坐标正确,这样才能保证后面的运算准确 向量平行不等价于线线平行,所以需要强调四点不共线(方法二几何法)设棱DD1上的点N满足DN=AA2=1,取CC1的中点M,连接A2N,MN,B2M.因为点A2,B2,C2,D2分别是棱的中点或四等分点 因为DNAA2,且DN=AA2,证明
7、平行四边形一般利用一组对边平行且相等 所以A2NAD,且A2N=AD.同理可证,B2MBC,且B2M=BC.因为ADBC,且AD=BC,所以A2NB2M,且A2N=B2M.厘清这三个平行四边形之间的联系 所以A2B2MN,A2B2=MN,MNC2D2,MN=C2D2,故A2B2C2D2,A2B2=C2D2.利用线线平行的传递性证明线线平行 合理选择相关的基底是关键 注意将问题中涉及的向量用同一组基底表示 将线线关系转化为向量关系来证明 不可忽略 要选取合适的点和线建系 由题意可知,A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2),设点P(0,2,a),其中0a4.点P在棱BB1上,包括端点 取z2=2,可得x2=a-1,y2=3-a,赋值时应确保法向量的每个坐标均用整数或整式型表示,并对三个坐标中的公因式或公约数进行约简 注意两向量的夹角与二面角大小的关系 回扣题干,结合图形审核条件 对点训练3(12分)(2023新高考,20)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BDCD,ADB=ADC=60,E为BC的中点.(1)证明:BCDA;图1 图2
