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1、抽象与形象的完美结合抽象与形象的完美结合数形结合初二（13）班 101307 黄百川一 数形结合的基本概念 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度
2、等。 百度百科“数形结合”二 数形结合的解题方法以数助形，即恰当的设元，把一些几何量如角度的大小，线段的长短等用字母或者是代数式来表示，利用图形的性质，寻找几何图形元素之间的关系，通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解决几何问题。以形辅数，即把一个代数问题转化为一个图形，问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，借助图形的直观性来解题。 奥赛经典湖南师范大学出版社三 我的弱点数形结合 数形结合其实有两大块，就是在几何图形中用代数方法来解决问题。打一个很好的比方，就是在解决圆中的各个线段的关系的时候，利用方程的思想，对未知线段来列未知数，这样子往往能够很好地解题。我的弱点在于，很多时候不知道
3、去设哪一个线段，结果导致方程过于复杂，有时会出现高次元，这样子就把问题复杂化了。这一点，具体的解决方法就是多去做一些与数形结合相关的问题，同时，一定要就这一个弱点，去总结归纳思想，把一些经典的题目记下来，并且把每道题如何解，设了哪个线段都罗列出来。这样子，触类旁通，就可以解决同类的问题了。其实我在数形结合中最薄弱的就是用形状来解决代数问题了。这一点，在这次的期末考试的倒数第二道填空题中，就暴露了出来。因为是两个带根号的方程加起来，自己就很糊涂的直接去解方程，自然很难解出来。其实，看到了带根号，同时还是两个根式相加，自然就应该想到直角三角形，因为直角三角形的三边关系正好能够符合，同时，两个根式相
4、加，自然就是运用“两点之间，线段最短”的知识点了。知道了要用数形结合的思想，肯定就很好做。关键是，看到诸如此类的题目，总是忘记要用数形结合。现在遇到的问题就在这里了。很多时候知道知识点以及方法，但是在考试中却不会做，吃了哑巴亏。这点也很好解决，与上面的方法相近，自己就应该根据薄弱环节，自己选取恰当的题目去做。一道数学题的解题方法有很多种，但是，我们要选取最简洁的方法，最快最准确把题目做出来。掌握数形结合，最重要的就是要掌握方法，要对题目敏感一些，能够选取正确的方法。之后的计算，那就不在考虑范围之内了。四 例题1.如图，P是矩形ABCD内一点，若PA=3，PB=4，PC=5，则PD=_（山东竞赛
5、）2. 已知a0,b0,求以根号(a平方+b平方),根号(a平方+4b平方),根号(4a平方+b平方)为三边长的三角形面积。解：已知a0,b0,求以根号(a平方+b平方),根号(a平方+4b平方),根号(4a平方+b平方)为三边长的三角形就是以O（0，0），A（a，2b），B（2a，b）为顶点的三角形AB的直线方程为y=(-b/a)(x-a)+2b与y轴的交点为C（0，3b)S(ABO)=S(BCO)-S(ACO)=(1/2)*2a*3b-(1/2)*a*3b=(3/2)ab 3. 边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF,GH分割为四个小矩形,EF与GH交与 点P若AG=AE，证明：
6、AF=FH 若角FAH=45 证明AG+AE=FH)矩形ABFE，矩形ADHG和正方形ABCD AB=EF AD=GH AB=AD EF=GH 在AEF和AGH中 AE=AG，AEF=AGH=90，EF=GH AEFAGH AF=AH4.可以把三点分别看成是A（X,0）,B(0,2),C(12,3)，根据三角形两边之和大于第三边可知当两边之和等于第三边时代数式的值最小。通过画图可知，此时需要把B点做对称点得到B，连接BC，此时代数式的值就是BC的长度。BC=根号（12平方+（3-（-2）平方）=13.综上所示，代数式最小值为135.加号左边可以看成是点(x,1)到点(0,0)的距离；加号左边可
7、以看成是点(x,1)到点(4,3)的距离；（关键是，含x的点相同，另两个点为常数）。则原式可以理解为在直线y=1上取一点，使得该点(x,1)到点(0,0)和(4,3)的距离之和最小，显然是(0,0)和(4,3)两点连线与y=1的交点，表达式最小值为(0,0)和(4,3)的距离，即5。此时x=4/3。五、 习题1.如图3316所示，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴的夹角为60，且点A坐标为（2，0），点B在x轴上方，设A B=a，那么点B的横坐标为（ ）A2 B2 C2 D2+ 2. 实数p在数轴上的位置如图3323所示，化简。3. 已知二次函数与一次函数 y2=kx+ m（k0）的图象相交于
8、点 A（2，4），B（8，2）（如图 3325所示），则能使y1y2成立的x的取值范围是_4.如图3326，以直角三角形的两直角边为边长所作的正方形A、B的面积分别为9，16，求以斜边为边长的正方形DEFG的面积答案：1.D 2.3. 4.【例6】（2005，嘉峪关，10分）某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图331已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题： （1）求y1与y2的函数解析式； （2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？ （3）果你是推销员，应如何选择付费方案？ 解：（1）y1=20x，y2=10x+300 （2）y1是不推
9、销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元 （3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的.【例7】（2005，某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图332，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析解：（1）
10、2月份每千克销售价是35元；7对月份每千克销售价是05元；（3）l月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同 点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性最大（小）值等，得出多个结论【例8】（2005，江西课改，8分）某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3l司所示的条形统计图：请写出从条形统计图中获得的一
11、条信息；请根据条形统计图中的数据补全如图333所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻人并说明这两幅统计图各有什么特点？请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。 解：参加调查的人数为5000人； 说明：只要符合题意，均得满分 如图335所示： 条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比 说明：第二版、第三版所对应的两个扇形中非公共边不在一条直线上的得0分 如：建议改进第二版的内容，提高文章质量，内容更贴近生活，形式更活泼些 说明：只要意义说到、表达基本正确即可得满分 点拨。统计分布图在中考中出现的越来越多，而统计图又
12、分为：条形。扇形、折线，从统计图中获得的信息是我们必须掌握的例9如图3312所示，AOB为正三角形，点A、B的坐标分别为，求a，b的值及AOB的面积 例10习题6如图3311所示，在RtABC中，C90，AB=13，BC=5，则以AC为直径的半圆的面积为（ ） A6 B12 C36 D18习题7a，b，c是三角形的三条边，则关于x的一次函数的图象不经过第_限习题8若一次函数的图象经过第一、二、四象限时，m的取值范围是_.习题9若点P（1，a）和Q（1，,b）都在抛物线上，则线 段PQ的长是_。习题10 已知抛物线经过A（1，0），B （3，0）， C(2，6）三点，与y轴的交点为D，则ABD的面积为_.答案：6.Dof accountability, redress of orders and prohibitions. Strengthening the honesty and self-discipline of leading cadres honesty in politics and education work, enhance leaders ability to resist
