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1、145简谐运动的能量Energy of Simple Harmonic Vibration引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而 具有势能，动能和势能之和就是其能量。一、简谐运动的能量1. 能量表达式(1) 推导 以弹性振子为例x = A cos + 3)v = - A sin Cot + 3)则系统动能为：E = mv2 = mA2 2 sin2Cot + 3) k 22系统势能为：E =三kx2 kA2 cos2Cot +3)p 22因而系统的总能量为E=E +E = mA2 2 sin2k p 2c k考虑到o 2，则m厂1人1,E= mA2 2 kA22 2(
2、2) 结论 弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。(3) 解释 由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与 势能相互转化，总能量保持不变。(4) 说明1) E-A2,对任何简谐运动皆成立；2) 动能与势能都随时间作周期性变化， 变化频率是位移与速度变化频率的两倍， 而总能量保持不变；且总能量与位移无 关。动能 Ek=E-Ep2. 能量曲线注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。”假设在t时刻质点的位移为x,速度为v,则 +3)咕宀 2 kA2cos2 心+3)野专初J匕11rI/1XLC 17T 1/VI“ 0+A”T二、能量平均值定义：一个随时间变化的物理量
3、f(t),在时间T内的平均值定义为f=t f f c n0因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为E =丄k TA= x 2 +0mA 2 2 sin 6t + 串）it = mA 2 2 = kA 2 2440因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为f kA2 cos2（t + Q）dt = kA2 = mA222440结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等 于总能量的一半。三、应用1. 应用1记忆振幅公式由能量守恒关系可得：k A2/2= mv2/2+ kx02/2 解之即得：（v ）0 I丿2应用2推导简谐运动相关方程 在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹
4、性势能和重 力势能），且二者之和保持不变，因而有Q + E ）= 0 dt k p将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐 运动的微分方程及振动周期和频率。这种方法在工程实际中有着广泛的应用。 此方法对于研究非机械振动非常方便。例1用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。 解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即mv 2 + kx 2 = kA 2 = C2 2 2两边对时间求导，得1 dv 丄 1 dxm - 2v + k - 2x = 02 dt 2dtd2 x 八m - v + k - xv = 0 dt 2d2 x k门+ x = 0 dt 2mk令 2=，则md
5、2 x八+ 2x = 0dt 2其解为x = A cosQot + 申)代入守恒方程可得A=A例2.劲度系数为k、原长为1、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一 质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。解：取物体受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设 mot + q ) c o q + A c o q 丿co o t - A s inp + A s inp 丿si not112 2 112 2令：A sin q = A sin q + A sin q , A cos q = A cos q + A cos q1122/1 J 122则：x=A cosq
6、cosot - A sin q sin ot=A cosot + q 丿2. 应用旋转矢量法：A, A2大小不变，且以共同角速度3旋转，它们的相对位置不变，即夹角 G -q)保持不变，所以合振动的振幅a大小不变，也以角速度3绕o作逆 2 1(DA =时针旋转，故合成振动也是简谐运动。A2 + A2 + 2A Acosq qJ1 2 1 2 2 1A sin q + A sin qq = arctg 1122-A cos q + A cos q1122x = A coskot + q丿圆频率：初相位:合振幅：合振动：3.1)2)讨论：合振动仍然是简谐运动，且频率仍为3 ;合振动的振幅不仅与Aq
7、A2有关，而且还与相位差q q丿有关。1 2 2 1若 q q =2k兀,k = 0,1,2,，则 cosq q 丿=1，A=A +A即两个分振动若申一A2 1cosMp 申2 121121动同相叫合振幅等于分振幅之和。2k+1 丿r， k = 0,1,2,，贝y, )= 1， A A A2112即两个分振动反相时，合振幅等于分振幅之差的绝对值。一般情况下，合振动的振幅则在| A】一A2 3）上述结论可以推广到多个同方向同频率简谐$ 运动的合成，即.、x = A cosOot + Q ）, i = 1,2, nii合振动:ix = x也是简谐运动ii=1x = A cosCot + 申）A和9
8、也可以用一般矢量求和的方法得到。二、同方向不同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个不同频率且 在同一条直线上的简谐运动、x = A cosOo t + 9 /x = A cosCo t + 9 ）2 2 2 2x = x + x1 2c相）位 差 t +（99）随时间变化，2 1合振动由/于- o ,21_ -故合振动的振幅也随时间而变化，不是简谐 运动。 这里只 讨论A = A = A , 9 =9 = 012 0 12V +V V -V 的情形，即两个频率相12I -差很小，此时与A +A之间。z振动1振动zx = A cos o t=A cos 2兀V tiiioix = A co
9、s o t=A cos 2兀V2 2 2 0x = x + x = A c o 2兀V t + A c o 2兀V t1 2 0 1 0 2V -V )2 A c o 2兀y t c o 2k0 2丿宀 v +v一t随时间变化比cos2兀11要缓慢得多，因V +V21 tV -V-21由于 2A cos 2k0此可以近似地将合振 动看成是振幅按V -V2A cos 2k 110 2缓慢变化得角频率为V +v亠亍的“准周期运动”这种两个频率都 较大但两者频差很小 的同方向简谐运动合成时，所产生的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍频（beat）。aam|a/w/v4ww=即合振动的频率为:合振幅变化的周期:拍频:V +v2T = 1/V V1 2 1V = V VI 2用旋转矢量法理解：_假设V V，所以A比一 21.2 _A转动得快，当A转到与A1 2 1 反方向位置时，合振幅最小； 当A转到与A同方向位置2 1 时，合振幅
