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1、第4节数列求和课标解读1.巩固等差数列、等比数列前n项和公式.2.掌握数列求和的裂项相消求和法、错位相减求和法、拆项分组求和法、并项转化求和法、倒序相加求和法,能够解决数列的求和问题.1 强基础 固本增分2 研考点 精准突破目录索引1 1 强基础强基础 固本增分固本增分知识梳理1.特殊数列的求和公式 推导方法:倒序相加法 推导方法:乘公比,错位相减法 2.非特殊数列求和的几种常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差
2、数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.(5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.错位相减时,要注意最后一项的符号 常用结论常用裂项公式自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,
3、正确的画“”,错误的画“”)2.求Sn=a+2a2+3a3+nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()3.利用倒序相加法可求得sin21+sin22+sin23+sin288+sin289=44.5.()4.若在数列an中,an=(-1)n(3n-1),则其前30项的和等于45.()题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第二册4.4节第51页练习第2题改编)在数列an中,an=,则an的前n项和为.6.(人教A版选择性必修第二册习题4.3第6题改编)已知数列1,11,111,1 111,11 111,则它的前n项和为 .7.(人教A版选择性必修第二册习题4.3第3(2)题
4、改编)1+2x+3x2+=(x0且x1).题组三连线高考 A9.(2020全国,理17)设an是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求an的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.解(1)设an的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故an的公比为-2.(2)记Sn为nan的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2Sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.2 2 研考点研考点 精准突破精准突破考点考点一一
5、 分组分组转化法求和转化法求和例1(2024山东济南模拟)已知数列an满足a1=1,nan+1-(n+1)an=1.对点训练1(2024湖南岳阳模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn,其公比 考点考点二二 并并项转化法求和项转化法求和例2(2024福建泉州模拟)在数列an中,a1=1,且an+1=2an+n-1.(1)证明:数列an+n为等比数列,并求出an;(2)记数列bn的前n项和为Sn,若an+bn=2Sn,求S11.(1)证明因为an+1=2an+n-1,所以 =2,又a1+1=2,所以数列an+n是首项为2,公比为2的等比数列,故an+n=22n-1=2n,可得an=2n-n.(2)
6、解因为2Sn=an+bn=bn+2n-n,即2Sn=bn+2n-n,所以当n=1时,2b1=b1+1,解得b1=1,当n2时,2Sn-1=bn-1+2n-1-n+1,-得2bn=bn-bn-1+2n-1-1,整理得bn+bn-1=2n-1-1.所以S11=b1+b2+b3+b4+b5+b11=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+(b10+b11)=1+(22-1)+(24-1)+(210-1)=(22+24+26+28+210)-4=1 360,即S11=1 360.故b1+b2+b3+b2 023=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+(b2 022+b2 023)=1+21 011=2
7、023.考点考点三三 裂裂项相消法求和项相消法求和变式探究 对点训练3(2024山东烟台模拟)已知Sn为数列an的前n项和,a1=1,且nan-Sn=n2-n,nN*.(1)求数列an的通项公式;解(1)因为nan-Sn=n2-n,所以(n-1)an-1-Sn-1=(n-1)2-(n-1)(n2),两式相减得nan-(n-1)an-1-an=2n-2,化简得an-an-1=2(n2),所以数列an是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=1+(n-1)2=2n-1.考点考点四四 错位错位相减法求和相减法求和例4(2023全国甲,理17)记Sn为数列an的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan
8、.(1)求an的通项公式;(2)求数列 的前n项和Tn.解(1)由题意可知,2Sn=nan,当n2时,2Sn-1=(n-1)an-1,-得2an=nan-(n-1)an-1,(n-1)an-1=(n-2)an.对点训练4(2024浙江杭州模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn+2=2an.(1)求a2及数列an的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为dn的等差数列,求数列 的前n项和Tn.解(1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2,当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4,当n2时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,两式相减,可得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,an=22n-1=2n,nN*.(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为dn的等差数列,则有an+1-an=(n+1)dn,
