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1、素能培优(六)数列中的构造问题求数列的通项公式时,除了前面我们学习过的公式法、累加法、累乘法等,构造法也是一种重要方法.其基本思想是根据数列递推公式的特征,通过构造转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘法求解的数列)解决问题.题型型一一 形形如如an+1=pan+f(n)型型 命题点1an+1=pan+q(p0,1,q0)型例1(2024江西景德镇一中检测)已知在数列an中,a1=1,an+1=4an-6,则a2 023=()A.-42 023+2B.-42 023-2C.-42 022+2D.-42 022-2C解析由an+1=4an-6,得an+1-2=4(an-2),而a1-
2、2=-1,因此数列an-2是以-1为首项,4为公比的等比数列,则an-2=(-1)4n-1,即an=-4n-1+2,所以a2 023=-42 022+2.命题点2an+1=pan+qn(p0,1,q0,1)型 命题点3an+1=pan+qn+c(p0,1,q0)型例3(2024河北唐县高三检测)若a1=1,an+1=2an-3n,nN*,则an=.-52n-1+3n+3 规律方法 形式构造方法an+1=pan+q(p0,1,q0)引入参数c,构造新的等比数列an+can+1=pan+qn+c(p0,1,q0)引入参数x,y,构造新的等比数列an+xn+yan+1=pan+qn(p0,q0,1)
3、等式两边同除以qn+1,构造新的等比数列对点训练1(1)(2024山东潍坊模拟)已知数列an满足an+1=2an-1,a1+a2=a3,则an的通项公式为.an=2n-1+1(3)(2024江苏盐城模拟)已知在数列an中,a1=2,an+1-4an=2n+1,nN*,则an的通项公式为.an=4n-2n 解析因为an+1=2n+1+4an,所以an+1+2n+1=4an+2n+2=4(an+2n),即=4.因为a1+2=4,所以数列an+2n是以4为首项,4为公比的等比数列.所以an+2n=44n-1=4n,即an=4n-2n.题型型二二 形形如如an+1=pan+qan-1型型(相相邻项的差
4、的差为特殊数列特殊数列)例4(2024江苏七市模拟)已知数列an满足a1=1,a2=5,an+2=5an+1-6an.证明:(1)an+1-2an是等比数列;(2)存在两个等比数列bn,cn,使得an=bn+cn成立.证明(1)an+2=5an+1-6an,an+2-2an+1=5an+1-6an-2an+1,an+2-2an+1=3an+1-6an=3(an+1-2an),an+1-2an=0显然与a1=1,a2=5矛盾,数列an+1-2an是以a2-2a1=5-2=3为首项,3为公比的等比数列.(2)an+2=5an+1-6an,an+2-3an+1=5an+1-6an-3an+1,an+
5、2-3an+1=2an+1-6an=2(an+1-3an).数列an+1-3an是以a2-3a1=5-3=2为首项,2为公比的等比数列,an+1-3an=2n,又由(1)知,an+1-2an=3n,-,得an=3n-2n.存在两个等比数列bn,cn,bn=3n,cn=-2n,使得an=bn+cn成立.对点训练2(2024广东广州第一一三中学校考)已知数列an满足a1=2,a2=8,an+2=4an+1-3an,则数列an的通项公式为.an=3n-1 解析an+2=4an+1-3an可变形为an+2-an+1=3(an+1-an),且a2-a1=6,数列an+1-an是以6为首项,3为公比的等比数列.an+1-an=63n-1=23n,变形为an+1-3n+1=an-3n,可知an-3n是常数列,且a1-3=-1,an-3n=-1,an=3n-1.题型型三三 形形如如an+1=型型(倒数倒数为特殊数列特殊数列)ABD 题型型四四 形形如如an+1=p 型型(对数数为特殊数列特殊数列)例6数列an中,a1=1,an+1=,则数列an的通项公式为.
